Espacio vectorial

Cuando tenemos un conjunto de elementos matemáticos que se relacionan y operan con propiedades de tipo conmutativa, asociativa y distributiva, hablamos de un espacio matemático, pero si este espacio está conformado por vectores y usa operaciones externas con escalares (números reales) quedando su resultado en el mismo conjunto, hablamos de un espacio vectorial.

espacio vectorial0  Espacio vectorial espacio vectorial0 300x208

Definición

Sea:

  • K un conjunto de escalares
  • V un conjunto de vectores con reglas de adición y multiplicación por escalar que asignan a todo u, v pertenecientes al conjunto V.
  • La suma de u + v pertenezca a V y a todo u perteneciente a V.
  • Con k perteneciente al cuerpo K, el producto  u · k pertenecerá al conjunto V.

V será un espacio vectorial sobre el cuerpo K, mientras cumpla con las siguientes propiedades:

Propiedades

  1. Para todo vector u, v, w que pertenece al conjunto V, (u + v) + w = u + (v + w).
  2. Existe un vector 0 perteneciente al conjunto V, tal que u + 0 = u perteneciente al conjunto V.
  3. Para todo vector u perteneciente al conjunto V, existe un vector – u en el mismo conjunto, tal que u + (-u) = 0.
  4. Para todo vector u, v que pertenecen al conjunto V, u + v = v + u.
  5. Para todo escalar k perteneciente al cuerpo K y todo vector u, v perteneciente al conjunto V,  k · (u + v) = k · u + k · v.
  6. Para todo escalar a, b perteneciente al cuerpo K y todo vector u perteneciente al conjunto V, (a + b)  ·u = a · u + b · u.
  7. Para todo escalar a, b perteneciente al cuerpo K y todo vector u perteneciente al conjunto V, (a · b) · u = a · (b · u).
  8. Para el escalar unidad 1 que pertenece al cuerpo K, 1 · u = u para todo vector u perteneciente al conjunto V.
  9. Para todo escalar k perteneciente al cuerpo K y vector cero perteneciente al conjunto V,  k · 0 = 0.
  10. Para cero perteneciente al cuerpo K y todo vector u perteneciente al conjunto V, 0 · u = 0.
  11. Si k · u = 0, donde k pertenece al cuerpo K y u que pertenece al conjunto V, entonces k = 0 o u = 0.
  12. Para todo escalar k perteneciente al cuerpo K y todo vector u perteneciente al conjunto V, (- k) · u = k · (- u) = – k · u.