Trigonometría – Conceptos básicos

La trigonometría (cuyo término deriva del griego τριγωνοϛ trigōnos “triángulo” y μετρον metron “medida”) es una rama de las matemáticas que se encarga del estudio de los ángulos, triángulos y razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. A pesar que fue en el siglo XVII que la trigonometría fue incorporada al Análisis matemático, sus orígenes reales se remontan a las antiguas pirámides egipcias y la astronomía babilónica.

Breve historia de la trigonometría




Los primeros estudios de triángulos se remontan al 2000 a.C.; los antiguos egipcios y babilonios conocían los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes, sin embargo, ya que carecían del concepto de una medida angular, se limitaron a estudiar los lados de los triángulos. Posteriormente, los antiguos matemáticos griegos y helenísticos comenzaron a hacer uso de la cuerda, que es definida geométricamente como en la  Figura 1. La cuerda de un ángulo es la longitud dimensional de una cuerda entre dos puntos en una unidad circular separada por un ángulo.

Cuerda
Figura 1. La cuerda de un ángulo es una semirecta cuyos extremos están sobre el arco.

En el siglo III a.C, los matemáticos y filósofos griegos como Euclides y Arquímedes estudiaron las propiedades de las cuerdas y los ángulos inscritos en círculos, y probaron teoremas que son equivalentes a las fórmulas trigonométricas modernas, aunque las presentaron geométricamente en lugar de algebraicamente.

En el año 140 a.C., el astrónomo y matemático griego Hiparco de Nicea (190 a. C. – 120 a. C.) construyó una «tabla de cuerdas» análogas a las tablas de senos moderna y las utilizó para resolver problemas en trigonometría y trigonometría esférica. Por esto es considerado  como el fundador de trigonometría. En el siglo II d. C., el astrónomo greco-egipcio Ptolomeo construyó tablas trigonométricas detalladas, que fueron usadas durante los siguientes 1200 años para realizar cálculos trigonométricos en astronomía.

La convención para el seno moderna se atestigua por primera vez en el Suria-siddhanta (uno de los primeros libros de arqueoastronomía de los hinduistas), y sus propiedades fueron documentadas por el matemático y astrónomo indio Aryabhata (siglo V d.C.). Tanto las obras indias como las griegas fueron traducidas y ampliadas por matemáticos islámicos medievales, como Al-Juarismi y Abú al-Wafá. Debido a estos estudios, la trigonometría se convirtió en una disciplina independiente en el mundo islámico. Para el siglo X, los matemáticos islámicos conocían las seis funciones trigonométricas, tabulaban sus valores y los aplicaban a problemas.

A partir del Renacimiento, las traducciones de textos en árabe y griego llevaron a que Occidente se familiarizará con la trigonometría árabe. El primer trabajo de importancia en este tema fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johannes Müller von Königsberg, conocido como Regiomontano.

El estudio de la trigonometría moderna inicia durante la Ilustración, comenzando con Isaac Newton y James Stirling, y el desarrollo de la fórmula general de la interpolación Newton-Stirling para funciones trigonométricas; y alcanza su forma moderna con el matemático suizo Leonhard Euler. Euler con su Introductio in analysin infinitorum (1748) fue el responsable del establecimiento del tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, derivando sus series infinitivas y presentando la «Fórmula de Euler». Además usó abreviaturas muy parecidas a las que conocemos actualmente (sin; cos; tang; cot; sec; y cosec).

Antes de esto, el matemático inglés Roger Cotes había calculado la derivada del seno en su Harmonia Mensurarum (1722). Además en el siglo XVIII, el también matemático inglés Brook Taylor definió el teorema que lleva su nombre y le dio a la serie expansiones y aproximaciones para las seis funciones trigonométricas. Las obras de los matemáticos escoceses James Gregory en el siglo XVII y Colin Maclaurin en el siglo XVIII también fueron muy influyentes en el desarrollo de series trigonométricas.

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Definición de trigonometría

La trigonometría es el estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Debido a esto, se definieron una serie de funciones, llamadas razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

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Aplicación de la trigonometría

La trigonometría se aplica en otras ramas de las matemáticas, como la geometría, también en física, como tal es el caso de la mecánica. Posee numerosas aplicaciones en la astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, arquitectura, topografía, ingeniería, medicina y mucho más. Por ejemplo, en astronomía se utiliza para medir distancias a los satélites, planetas y estrellas próximas; en arquitectura para la creación de edificios, en ingeniería para la construcción de puentes y en topografía para el levantamiento de terrenos.  Se usa en medicina en el registro gráfico de la actividad eléctrica del corazón (electrocardiogramas), así como en otros más.

Aplicaciones de la trigonometría

Unidades angulares

En la medición de ángulos y, como consecuencia, en trigonometría, se utilizan tres unidades: radián, grado sexagesimal y grado centesimal.  Aunque en nuestra vida cotidiana hacemos uso del grado sexagesimal, en matemáticas se utiliza el radián; en arquitectura, topografía y construcción se usa el grado centesimal.

Radián

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Es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados son cortados por el arco de la circunferencia; dicho arco tiene una longitud igual a la del radio. La unidad se escribe 1 rad. Una vuelta entera a la circunferencia son 2π rad. Los radianes son la única unidad de medición de ángulos del Sistema Internacional de Unidades.

Grado sexagesimal

Unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados. La unidad se escribe 1°.

Cada grado se divide en 60 minutos ( ‘ ) y cada minuto en 60 segundos ( » ), o lo que es lo mismo, 1° = 60′ y 1’ = 60″.

Grado centesimal

Unidad angular que divide una circunferencia en 400 grados centesimales. La unidad se escribe 1g. Se le llama también gon, gradián y gonio. Cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales, y este, a su vez, en 100 segundos centesimales.

Las relaciones entre las tres unidades son:

\LARGE 180^{\circ}$=200^{g}=\pi \hspace{0.2em} rad

Relaciones entre unidades angulares
Figura 2. Relaciones entre unidades angulares

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo rectángulo son: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

Razones trigonmétricas

Seno de un ángulo a

El seno es el cociente del cateto opuesto al ángulo entre la hipotenusa:

\LARGE \sin A=\frac{a}{c}

Coseno de un ángulo a

El coseno es el cociente del cateto contiguo al ángulo entre la hipotenusa:

\LARGE \cos A=\frac{b}{c}

Tangente de un ángulo a

La tangente es el cociente del cateto opuesto entre el cateto contiguo.

\LARGE \tan A=\frac{a}{b}

De la misma forma, deducimos que también es el cociente del seno entre el coseno de un ángulo:

\LARGE \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}

La tangente puede abreviarse también como tg.

Cosecante de α

La cosecante de A es la razón trigonométrica recíproca al seno (con el cociente invertido):

\LARGE \csc A=\frac{1}{\sin A}

Secante de α

La secante de A es la razón trigonométrica recíproca al coseno (con el cociente invertido):

\LARGE \sec A=\frac{1}{\cos A}

Cotangente de α

La cotangente de A es la razón trigonométrica recíproca a la tangente (con el cociente invertido):

\LARGE \cot A=\frac{1}{\tan A}

Representaciones gráficas

Representaciones gráficas seno, coseno y tangente
Figura 3.Representaciones gráficas seno, coseno y tangente

Representaciones gráficas secante, cosecante y cotangente
Figura 4. Representaciones gráficas secante, cosecante y cotangente.

Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida para los valores de los ángulos (variables) en la que está definida. A partir del teorema de Pitágoras podemos derivar las identidades fundamentales o básicas y a partir de estas, otras denominadas auxiliares.

Las principales fórmulas e identidades trigonométricas son:

Identidades básicas

\large \begin{align*} &\sin \theta \cdot \csc \theta = 1 \\ &\tan \theta \cdot \cot \theta = 1 \\ &\cos \theta \cdot \sec \theta = 1 \\ \end{align*}

Identidades pitagóricas

\large \begin{align*} &\sin^{2} \theta \cdot \cos^{2} \theta = 1 \\ &1+\tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta \\ &1+ \cot^{2} \theta= \csc^{2} \theta \\ \end{align*}

Identidades par e impar

Funciones pares:

\large \begin{align*} &\cos \left (-\theta \right ) =\cos \theta \\ &\sec \left (-\theta \right ) =\sec \theta \end{align*}

Funciones impares

\large \begin{align*} &\sin \left (-\theta \right ) =-\sin \theta \\ & \csc \left (-\theta \right ) =-\csc \theta \\ &\tan \left (-\theta \right ) =-\tan \theta \\ &\cot \left (-\theta \right ) =-\cot \theta \end{align*}

Fórmulas para funciones trigonométricas de suma y resta de ángulos

\large \begin{align*} &\sin \left ( \alpha \pm \beta \right )=\sin\alpha \cdot \cos \beta \pm \sin \beta \cdot \cos \alpha \\ &\cos\left ( \alpha \pm \beta \right )=\cos\alpha \cdot \cos \beta \pm \sin \beta \cdot \sin \alpha \\ &\tan\left ( \alpha \pm \beta \right )=\frac{\tan \alpha \pm \tan\beta }{1\pm \tan\alpha \cdot \tan\beta } \end{align*}

Fórmulas para ángulos dobles

\large \begin{align*} &\sin 2\theta =2\cdot\sin \theta \cdot \cos \theta \\ &\bullet \cos2\theta =2\cdot\cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta \\ &\bullet \cos 2\theta =1 - 2\cdot\sin^{2}\theta \\ & \bullet \cos 2\theta = 2\cdot\cos^{2}\theta -1 \\ &\tan 2\theta =\frac{2\cdot\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta} \end{align*}

Fórmulas para ángulos medios

\large \begin{align*} &\sin \left (\frac{\theta }{2} \right ) =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}} \\ & \cos \left (\frac{\theta }{2} \right ) =\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}} \\ & \tan \left (\frac{\theta }{2} \right ) =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta } \\ & \end{align*}

Identidades producto – suma

\large \begin{align*} & \sin \alpha \cdot \sin\beta =\frac{1}{2}\left [ \cos \left ( \alpha -\beta \right )-\cos\left ( \alpha +\beta \right ) \right ] \\ & \cos \alpha \cdot \cos\beta =\frac{1}{2}\left [ \cos \left ( \alpha -\beta \right )+\cos\left ( \alpha +\beta \right ) \right ] \\ & \sin \alpha \cdot \cos\beta =\frac{1}{2}\left [ \sin \left ( \alpha +\beta \right )+\sin\left ( \alpha -\beta \right ) \right ] \end{align*}

Identidades suma – producto

\large \begin{align*} & \sin \alpha + \sin\beta =2\cdot \sin \left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )\cdot\cos \left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right ) \\ & \sin \alpha - \sin\beta =2\cdot \sin \left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right )\cdot\cos \left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right ) \\ & \cos \alpha + \cos\beta =2\cdot \cos \left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )\cdot\cos \left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right ) \\ & \cos \alpha - \cos\beta = - 2\cdot \sin \left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )\cdot\sin \left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right ) \end{align*}