Ángulo de referencia

cuadranteUn ángulo de referencia es un ángulo agudo positivo que representa un ángulo θ de cualquier medida. Éste es el ángulo más pequeño formado entre el lado terminal de θ y el eje x. Siempre utilizamos éste último como su marco de referencia y el procedimiento para medirlo dependerá del cuadrante en el que se encuentre θ.

Definición

Sea θ un ángulo en posición estándar; el ángulo de referencia para éste es el ángulo positivo agudo (θR) que el lado terminal de θ hace con el eje x.

Fórmula para el ángulo de referencia θR

θR se mide en base de la posición de un ángulo dado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de un plano rectangular:

Cuadrante I

Ángulo de referencia CIθR = θ

Cuadrante II

Ángulo de referencia CIIθR = 180⁰ – θ (grados) o θR = π – θ  (radianes)

Cuadrante III

Ángulo de referencia CIIIθR = θ – 180⁰ (grados) o θR = θ – π (radianes)

Cuadrante IV

Ángulo de referencia CIVθR = 360⁰ – θ (grados) o θR = 2π – θ (radianes)

Ejemplos:

Hallar el ángulo de referencia θR para:

  • θ = 80⁰

Ángulo de referencia

 θR = θ = 80⁰

  • θ = -220⁰

 Ángulo de referencia

θR = 180⁰ – θ = 180⁰ – 140⁰ = 40⁰

  • θ = 5π/3

Ángulo de referencia2

 θR = 2π – θ = 2π – 5π/3 = π/3

Ángulos de referencia y las funciones trigonométricas en θ

Sea θ un ángulo en posición estándar, si deseamos hallar los valores de las funciones trigonométricas en θ, debemos:

  1. Determinar los valores para el ángulo de referencia θ
  2. Añadir el signo apropiado:
Ángulo de referencia3Ejemplo:

Usando ángulos de referencia determinar el valor exacto de sin θ, cos θ y tag θ si:

  • θ = π/4
  • θ = 330⁰
Para θ = π/4>

sin (π/4) =  + π/4

cos (π/4) =  + π/4

tag (π/4) =  + π/4

Para θ = 330⁰

sin (330⁰) =  – sin (30⁰) = – 1/2

cos (330⁰) = + cos (30⁰) = √3/2

tag (330⁰) =  – tag (30⁰)  = – √3/3