Ángulo de referencia

Un ángulo de referencia es un ángulo agudo positivo que representa un ángulo θ de cualquier medida. Este es el ángulo más pequeño formado entre el lado terminal de θ y el eje x. Siempre utilizamos este último como su marco de referencia y el procedimiento para medirlo dependerá del cuadrante en el que se encuentre θ.

Tabla de contenidos

Definición

Sea θ un ángulo en posición estándar; el ángulo de referencia para este es el ángulo positivo agudo (θ_R) que el lado terminal de θ hace con el eje x.

Fórmula para el ángulo de referencia θ_R

θ_R se mide en base de la posición de un ángulo dado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de un plano rectangular:

Cuadrante I

$\LARGE \theta _{R}=\theta$

Cuadrante II

En grados:

$\LARGE \theta _{R}=180^{\circ}-\theta$

En radianes:

$\LARGE \theta _{R}=\pi -\theta$

Cuadrante III

En grados:

$\LARGE \theta _{R}=\theta -180^{\circ}$

En radianes:

$\LARGE \theta _{R}=\theta -\pi$

Cuadrante IV

En grados:

$\LARGE \theta _{R}=360^{\circ}-\theta$

En radianes:

$\LARGE \theta _{R}=2\pi -\theta$

Ejemplos:

Hallar el ángulo de referencia θ_R para:

$\theta=80^{\circ}$

Como este ángulo se encuentra en el primer cuadrante:

$\theta _{R}=\theta=80^{\circ}$

$\theta=-220^{\circ}$

$\theta _{R}=180^{\circ}-\theta=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$

$\theta =\frac{5\pi }{3}$

$\theta_{R}=2\pi -\theta =2\pi -\frac{5\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$

Ángulos de referencia y las funciones trigonométricas en θ

Sea θ un ángulo en posición estándar, si deseamos hallar los valores de las funciones trigonométricas en θ, debemos:

Determinar los valores para el ángulo de referencia θ
Añadir el signo apropiado:

Cuadrante de θ	Funciones que son positivas	Funciones que son negativas
I	Todas	Ninguna
II	Seno, Cosecante	Coseno, Secante, Tangente, Cotangente
III	Tangente, Cotangente	Seno, Cosecante, Coseno, Secante
IV	Coseno, Secante	Seno, Cosecante, Tangente, Cotangente

Ejemplo:

Usando ángulos de referencia determinar el valor exacto de sinθ, cosθ y tanθ si:

$\begin{align*} \theta &=\frac{\pi }{4} \\ \theta &=330^{\circ} \end{align*}$

Para el primer ángulo:

$\begin{align*} \sin\left (\frac{\pi }{4} \right )=+\frac{\pi }{4} \\ \cos \left (\frac{\pi }{4} \right )=+\frac{\pi }{4} \\ \tan \left (\frac{\pi }{4} \right )=+\frac{\pi }{4} \\ \end{align*}$

Para el segundo ángulo:

$\begin{align*} \sin\left (330^{\circ} \right)&=-\sin \left ( 30^{\circ} \right )=-\frac{1}{2} \\ \cos \left (330^{\circ} \right )&=+\cos \left ( 30^{\circ} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan \left (330^{\circ} \right )&=-\tan \left ( 30^{\circ} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{align*}$