Ángulo de referencia

cuadrante ángulo de referencia Ángulo de referencia cuadrante2 300x294Un ángulo de referencia es un ángulo agudo positivo que representa un ángulo θ de cualquier medida. Éste es el ángulo más pequeño formado entre el lado terminal de θ y el eje x. Siempre utilizamos éste último como su marco de referencia y el procedimiento para medirlo dependerá del cuadrante en el que se encuentre θ.

Definición

Sea θ un ángulo en posición estándar; el ángulo de referencia para éste es el ángulo positivo agudo (θR) que el lado terminal de θ hace con el eje x.

Fórmula para el ángulo de referencia θR

θR se mide en base de la posición de un ángulo dado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de un plano rectangular:

Cuadrante I

Ángulo de referencia CI ángulo de referencia Ángulo de referencia Angulo de referencia CI 300x294θR = θ

Cuadrante II

Ángulo de referencia CII ángulo de referencia Ángulo de referencia Angulo de referencia CII 300x294θR = 180⁰ – θ (grados) o θR = π – θ  (radianes)

Cuadrante III

Ángulo de referencia CIII ángulo de referencia Ángulo de referencia Angulo de referencia CIII 300x294θR = θ – 180⁰ (grados) o θR = θ – π (radianes)

Cuadrante IV

Ángulo de referencia CIV ángulo de referencia Ángulo de referencia Angulo de referencia CIV 300x294θR = 360⁰ – θ (grados) o θR = 2π – θ (radianes)

Ejemplos:

Hallar el ángulo de referencia θR para:

  • θ = 80⁰

Ángulo de referencia ángulo de referencia Ángulo de referencia Angulo de referencia0 300x294

 θR = θ = 80⁰

  • θ = -220⁰

 Ángulo de referencia ángulo de referencia Ángulo de referencia Angulo de referencia1 300x265

θR = 180⁰ – θ = 180⁰ – 140⁰ = 40⁰

  • θ = 5π/3

Ángulo de referencia2 ángulo de referencia Ángulo de referencia Angulo de referencia2 300x294

 θR = 2π – θ = 2π – 5π/3 = π/3

Ángulos de referencia y las funciones trigonométricas en θ

Sea θ un ángulo en posición estándar, si deseamos hallar los valores de las funciones trigonométricas en θ, debemos:

  1. Determinar los valores para el ángulo de referencia θ
  2. Añadir el signo apropiado:
Ángulo de referencia3 ángulo de referencia Ángulo de referencia ngulo de referencia3 e1461863820751Ejemplo:

Usando ángulos de referencia determinar el valor exacto de sin θ, cos θ y tag θ si:

  • θ = π/4
  • θ = 330⁰
Para θ = π/4>

sin (π/4) =  + π/4

cos (π/4) =  + π/4

tag (π/4) =  + π/4

Para θ = 330⁰

sin (330⁰) =  – sin (30⁰) = – 1/2

cos (330⁰) = + cos (30⁰) = √3/2

tag (330⁰) =  – tag (30⁰)  = – √3/3