Ángulo de referencia

cuadranteUn ángulo de referencia es un ángulo agudo positivo que representa un ángulo θ de cualquier medida. Este es el ángulo más pequeño formado entre el lado terminal de θ y el eje x. Siempre utilizamos este último como su marco de referencia y el procedimiento para medirlo dependerá del cuadrante en el que se encuentre θ.

Definición

Sea θ un ángulo en posición estándar; el ángulo de referencia para este es el ángulo positivo agudo (θR) que el lado terminal de θ hace con el eje x.

Fórmula para el ángulo de referencia θR

θR se mide en base de la posición de un ángulo dado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de un plano rectangular:

Cuadrante I

Ángulo de referencia CI\LARGE \theta _{R}=\theta

Cuadrante II

Ángulo de referencia CII

  • En grados:

\LARGE \theta _{R}=180^{\circ}-\theta

  • En radianes:

\LARGE \theta _{R}=\pi -\theta

Cuadrante III

Ángulo de referencia CIII

  • En grados:

\LARGE \theta _{R}=\theta -180^{\circ}

 

  • En radianes:

\LARGE \theta _{R}=\theta -\pi

Cuadrante IV

Ángulo de referencia CIV

  • En grados:

\LARGE \theta _{R}=360^{\circ}-\theta

  • En radianes:

\LARGE \theta _{R}=2\pi -\theta

Ejemplos:

Hallar el ángulo de referencia θR para:

  • \theta=80^{\circ}

Como este ángulo se encuentra en el primer cuadrante:

Ángulo de referencia

\theta _{R}=\theta=80^{\circ}

  • \theta=-220^{\circ}

 Ángulo de referencia

\theta _{R}=180^{\circ}-\theta=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}

  • \theta =\frac{5\pi }{3}

Ángulo de referencia2

Ángulos de referencia y las funciones trigonométricas en θ

Sea θ un ángulo en posición estándar, si deseamos hallar los valores de las funciones trigonométricas en θ, debemos:

  1. Determinar los valores para el ángulo de referencia θ
  2. Añadir el signo apropiado:
Cuadrante de θFunciones que son positivasFunciones que son negativas
ITodasNinguna
IISeno, CosecanteCoseno, Secante, Tangente, Cotangente
IIITangente, CotangenteSeno, Cosecante, Coseno, Secante
IVCoseno, SecanteSeno, Cosecante, Tangente, Cotangente
Ejemplo:

Usando ángulos de referencia determinar el valor exacto de sinθ, cosθ y tanθ si:

Para el primer ángulo:

Para el segundo ángulo: