Mínimos cuadrados

Cuando varias personas miden la misma cantidad, generalmente no obtienen los mismos resultados. De hecho, si la misma persona mide la misma cantidad varias veces, los resultados variarán. ¿Cuál es la mejor estimación para la verdadera medición? El método de mínimos cuadrados proporciona una forma de encontrar la mejor estimación, suponiendo que los errores (es decir, las diferencias con respecto al valor verdadero) sean aleatorias e imparciales.

¿Qué son los mínimos cuadrados?

Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. En su forma más simple, busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes datos.

Este método se utiliza comúnmente para analizar una serie de datos que se obtengan de algún estudio, con el fin de expresar su comportamiento de manera lineal y así minimizar los errores de la data tomada.

La creación del método de mínimos cuadrados generalmente se le acredita al matemático alemán Carl Friedrich Gauss, quien lo planteó en 1794 pero no lo publicó sino hasta 1809. El matemático francés Andrien-Marie Legendre fue el primero en publicarlo en 1805, este lo desarrolló de forma independiente.

Definición: Método de mínimos cuadrados

Su expresión general se basa en la ecuación de una recta y = mx + b. Donde m es la pendiente y b el punto de corte, y vienen expresadas de la siguiente manera:

mínimos cuadrados7

Σ Es el símbolo sumatoria de todos los términos, mientas (x, y) son los datos en estudio y n la cantidad de datos que existen.

El método de mínimos cuadrados calcula a partir de los N pares de datos experimentales (x, y), los valores m y b que mejor ajustan los datos a una recta. Se entiende por el mejor ajuste aquella recta que hace mínimas las distancias d de los puntos medidos a la recta.

Teniendo una serie de datos (x, y), mostrados en un gráfico o gráfica, si al conectar punto a punto no se describe una recta, debemos aplicar el método de mínimos cuadrados, basándonos en su expresión general:

mínimos cuadrados8

Cuando se haga uso del método de mínimos cuadrados se debe buscar una línea de mejor ajuste que explique la posible relación entre una variable independiente y una variable dependiente. En el análisis de regresión, las variables dependientes se designan en el eje y vertical y las variables independientes se designan en el eje x horizontal. Estas designaciones formarán la ecuación para la línea de mejor ajuste, que se determina a partir del método de mínimos cuadrados.

Ejemplo del método de mínimos cuadrados

Para entender con claridad la aplicación del método veamos un ejemplo:

Encontrar la recta que mejor se ajusta a los siguientes datos:

mínimos cuadrados2

Veamos el gráfico:

mínimos cuadrados3

Necesitamos encontrar una recta y = mx + b. Debemos aplicar el método de mínimos cuadrados. Como ya sabemos entonces, primero centraremos el valor (x ∙ y):

mínimos cuadrados4

Segundo por las expresiones de m y b debemos encontrar el valor x²:

Ahora podemos obtener los valores de las sumatorias de cada columna:

Σx = 55   ;    Σy = 57   ;   Σ(x·y) = 233    ;    Σx² = 473    ;    n = 9

Sustituimos en cada una de las expresiones:

m = (9·233 – 55·57) / (9·473 – |55|²) = -1038 / 1232 = – 0,84

b = (57·473 – 55·233) / (9·473 – |55|²) = 14146 / 1232 = 11,48

La recta obtenida con el método de los mínimos cuadrados es la siguiente:

y = (- 0,84)·x + 11,48

Observemos el gráfico:

mínimos cuadrados6

Vemos que la recta corta al eje y en 11,48 y en el eje x en 13,57. Si queremos saber dónde corta en el eje x igualamos la ecuación y = 0:

0 = (- 0,84)·x + 11,48

Despejamos x:

x = – 11,48 / (-0,84) = 13,57

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