Mínimos cuadrados

Este método se utiliza para analizar una serie de datos que se obtengan de algún estudio, con el fin de expresar su comportamiento de manera lineal y así minimizar los errores de la data tomada. Su expresión general se basa en la ecuación de una recta y = mx + b. Donde, m y b vienen expresadas de la siguiente manera:

mínimos cuadrados7  Mínimos cuadrados minimos cuadrados7 300x150

Σ Es el símbolo sumatoria de todos los términos, mientas (x, y) son los datos en estudio y n la cantidad de datos que existen.

Teniendo una serie de datos (x, y), mostrados en un gráfico, si al conectar punto a punto no se describe una recta, debemos aplicar el método de mínimos cuadrados, basándonos en su expresión general:

mínimos cuadrados8  Mínimos cuadrados minimos cuadrados8 e1460480531816

Para entender con claridad la aplicación del método veamos un ejemplo:

Encontrar la recta que mejor se ajusta a los siguientes datos:

mínimos cuadrados2  Mínimos cuadrados minimos cuadrados2

Veamos el gráfico:

mínimos cuadrados3  Mínimos cuadrados minimos cuadrados3

Necesitamos encontrar una recta y = mx + b. Debemos aplicar el método de mínimos cuadrados. Como ya sabemos entonces, primero centraremos el valor (x ∙ y):

mínimos cuadrados4  Mínimos cuadrados minimos cuadrados4

Segundo por las expresiones de m y b debemos encontrar el valor x²:

mínimos cuadrados5  Mínimos cuadrados minimos cuadrados5 300x162

Ahora podemos obtener los valores de las sumatorias de cada columna:

Σx = 55   ;    Σy = 57   ;   Σ(x·y) = 233    ;    Σx² = 473    ;    n = 9

Sustituimos en cada una de las expresiones:

m = (9·233 – 55·57) / (9·473 – |55|²) = -1038 / 1232 = – 0,84

b = (57·473 – 55·233) / (9·473 – |55|²) = 14146 / 1232 = 11,48

La recta obtenida con el método de los mínimos cuadrados es la siguiente:

y = (- 0,84)·x + 11,48

Observemos el gráfico:

mínimos cuadrados6  Mínimos cuadrados minimos cuadrados6

Vemos que la recta corta al eje y en 11,48 y en el eje x en 13,57. Si queremos saber dónde corta en el eje x igualamos la ecuación y = 0:

0 = (- 0,84)·x + 11,48

Despejamos x:

x = – 11,48 / (-0,84) = 13,57