Ángulos suplementarios

Supongamos que tenemos dos ángulos α = 60⁰ y β = 120⁰; Si los sumamos nos da como resultado 180⁰, por lo tanto, decimos que α y β “se suplementan”, es decir, son ángulos suplementarios.

Definición

Son aquellos que al sumarlos dan como resultado 180⁰ (o π rad).

α y β son suplementarios ya que:

$\large 60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}$

Si tenemos dos que son consecutivos, los lados no comunes de ambos forman un ángulo llano.

En general, dos ángulos son suplementarios si:

Uno de ellos es obtuso (mide más de 90⁰) y el otro es agudo (mide menos de 90⁰).
Ambos son ángulos rectos (90⁰).

Propiedades

Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes (que tienen la misma medida), también son congruentes entre sí.
Los senos de estos ángulos son los mismos, ejemplo:

$\large \begin{align*} &\bullet \hspace{0.3em}\sin \alpha =\sin \left ( 180^{\circ}-\alpha \right ) \\ &\bullet \hspace{0.3em}\sin \alpha=\sin \left ( \pi -\alpha \right ) \\ &\bullet \hspace{0.3em}\sin 120^{\circ}=\sin 60^{\circ} \end{align*}$

Los cosenos de los ángulos que son suplementarios son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, ejemplo:

$\large \begin{align*} &\bullet \hspace{0.3em}\cos \alpha =\cos \left ( 180^{\circ}-\alpha \right ) \\ &\bullet \hspace{0.3em}\cos \alpha=\cos \left ( \pi -\alpha \right ) \\ &\bullet \hspace{0.3em}\cos 120^{\circ}=-\cos 60^{\circ} \end{align*}$

Razones trigonométricas de ángulos suplementarios

Si α y β son suplementarios (α + β = 180⁰), entonces:

$\beta =180^{\circ}-\alpha$

$\large \begin{align*} \sin \left ( 180^{\circ}-\alpha \right )&=\sin \alpha \\ \\ \cos \left ( 180^{\circ}-\alpha \right )&=-\cos \alpha \\ \\ \tan\left ( 180^{\circ}-\alpha \right )&=-\tan \alpha \\ \\ \csc \left ( 180^{\circ}-\alpha \right )&=\csc \alpha \\ \\ \sec \left ( 180^{\circ}-\alpha \right )&=-\sec \alpha \\ \\ \cot \left ( 180^{\circ}-\alpha \right )&=-\cot \alpha \\ \end{align*}$