Teoría de matrices

Las matrices son arreglos bidimensionales o rectangulares de  filas y  columnas que se representa de la siguiente manera:

Matrices

Donde, cada aij es un elemento de la matriz.

Al saber lo que representa una matriz, podemos hablar de algunas de sus formas, por ejemplo:

Tipo de matrices

Matriz cero

Es una matriz donde todos sus elementos son cero:

Tipos de matrices - matriz cero

Matriz cuadrada

Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual a su número de columnas (n = m).

Suma de matrices

Si queremos sumar, debemos tener claro que la única forma que ocurra tal operación, es que ambas matrices tengan el mismo número de filas y de columnas (n = m), de no ser así entonces no pueden sumarse.

La suma de matrices es igual a la suma de los elementos correspondientes a cada matriz, es decir:

suma de matrices

Ejemplo:

Tenemos las siguientes matrices:

\large A_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 2 &1 \\ 2 &4 \\ \end{vmatrix}

\large B_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 3 &4 \\ 7 &0 \\ \end{vmatrix}

\large D_{\left ( n\times m \right )} = \begin{vmatrix} 1 &4 \\ 5 &3 \\ 9 &2 \end{vmatrix}

Si quisiéramos realizar la operación suma con estas, nos damos cuenta que solo se pueden sumar las matrices A y B, pues la matriz D no tiene el mismo número de filas que A y B. Entonces sumaremos solo A y B:

\large A_{\left ( 2\times 2 \right )}+B_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 2+3 &1+4 \\ 2+7 &4+0 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 5 &5 \\ 9 &4 \\ \end{vmatrix}

Multiplicación de matrices por escalares

Ahora veamos cómo se multiplican una matriz por un escalar (números reales). Decimos que tenemos una matriz A(n×m) multiplicada por α:

multiplicación de matrices por escalares

Entonces a cada elemento de la matriz A se le multiplicara por α:

\large A_{\left ( n\times p \right )} = \begin{vmatrix} a_{i1} &a_{i2} &a_{ip} \end{vmatrix}

\large B_{\left ( p\times m \right )} = \begin{vmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ b_{pj} \end{vmatrix}

\large \begin{vmatrix} a_{i1} &b_{i2} &b_{ip} \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ b_{pj} \end{vmatrix} = a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+a_{ip}\cdot b_{jp}

Multiplicación de matrices

Para que esta operación pueda efectuarse, la primera matriz debe tener el número de columnas igual al número de filas de la segunda matriz, es decir, A(n × p)·B(p × m) el resultado de esta multiplicación debe ser una matriz que tenga las n filas de A y las m columnas de B. Entonces:

A(n × p)·B(p × m) = C(n × m)

Ejemplo:

\large A_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 1 &4 \\ 3 &4 \\ \end{vmatrix}

\large B_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 2 &3 \\ 1 &0 \\ \end{vmatrix}

Estas dos matrices pueden multiplicarse, porque el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Multipliquemos:

\large A\cdot B=\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \\ \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} 2 &3 \\ 1 &0 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \left (1\cdot 2 \right )+\left ( 2\cdot 1 \right ) &\left (1\cdot 3 \right )+\left ( 2\cdot 0 \right ) \\ \left (3\cdot 2 \right )+\left ( 4\cdot 1 \right ) &\left (3\cdot 3 \right )+\left ( 4\cdot 0 \right ) \\ \end{vmatrix}

\large A\cdot B=C=\begin{vmatrix} 4 &3 \\ 10 &9 \\ \end{vmatrix}

Es importante saber que esta operación no es conmutativa, es decir que:

\large A\cdot B\neq B\cdot A

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