Teoría de matrices

Una matriz es un arreglo bidimensional o rectangular de  filas y  columnas que se representa de la siguiente manera:

matriz4

Donde, cada aij es un elemento de la matriz.

Al saber lo que representa una matriz, podemos hablar de algunas de sus formas, por ejemplo:

Matriz cero

Es una matriz donde todos sus elementos son cero:

matriz5

Matriz cuadrada

Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual a su número de columnas (n = m).

Suma de matrices

Si queremos sumar matrices, debemos tener claro que la única forma que ocurra tal operación, es que ambas matrices tengan el mismo número de filas y de columnas (n = m), de no ser así las matrices no pueden sumarse.

La suma de matrices es igual a la suma de los elementos correspondientes a cada matriz, es decir:

A(n×m) + B(n×m) = |aij| + |bij|

Ejemplo:

Tenemos las siguientes matrices:

 matriz6matriz7matriz8

Si quisiéramos realizar la operación suma con estas matrices, nos damos cuenta que solo se pueden sumar las matrices A y B, pues la matriz D no tiene el mismo número de filas que las matrices A y B. Entonces sumaremos solo A y B:

matriz9

Multiplicación de matrices por escalares

Ahora veamos cómo se multiplican matrices por escalares (números reales). Decimos que tenemos una matriz A(n×m) multiplicada por α:

matriz10

Entonces a cada elemento de la matriz A se le multiplicara por α:

matriz11

Multiplicación de matrices

Para que la multiplicación de matrices pueda efectuarse, la primera matriz debe tener el número de columnas igual al número de filas de la segunda matriz, es decir, A(n × p)·B(p × m) el resultado de esta multiplicación debe ser una matriz que tenga las n filas de A y las m columnas de B. Entonces:

A(n × p)·B(p × m) = C(n × m)

matriz12Ejemplo:

matriz13

Estas dos matrices pueden multiplicarse, porque el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Multipliquemos:

matriz14

Es importante saber que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir que:

A·B ≠ B·A