Teoría de matrices

Las matrices son arreglos bidimensionales o rectangulares de  filas y  columnas que se representa de la siguiente manera:

Matrices \large \boldsymbol{ A_{\left ( n\times m \right )} = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{1m} \\ a_{11} &a_{22} &a_{2m} \\ a_{n1} &a_{n2} &a_{nm} \end{vmatrix}}

Donde, cada aij es un elemento de la matriz.

Al saber lo que representa una matriz, podemos hablar de algunas de sus formas, por ejemplo:

Tipo de matrices




Matriz cero

Es una matriz donde todos sus elementos son cero:

\large M_{\left ( n\times m \right )} = \begin{vmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{vmatrix}

Matriz cuadrada

Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual a su número de columnas (n = m).

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Suma de matrices

Si queremos sumar matrices, debemos tener claro que la única forma que ocurra tal operación, es que ambas matrices tengan el mismo número de filas y de columnas (n = m), de no ser así las matrices no pueden sumarse.

La suma de matrices es igual a la suma de los elementos correspondientes a cada matriz, es decir:

\large A_{\left ( n\times m \right )} + B_{\left ( n\times m \right )} =\left | a_{ij} \right |+\left | b_{ij} \right |

Ejemplo:

Tenemos las siguientes matrices:

\large A_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 2 &1 \\ 2 &4 \\ \end{vmatrix}

\large B_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 3 &4 \\ 7 &0 \\ \end{vmatrix}

\large D_{\left ( n\times m \right )} = \begin{vmatrix} 1 &4 \\ 5 &3 \\ 9 &2 \end{vmatrix}

Si quisiéramos realizar la operación suma con estas matrices, nos damos cuenta que solo se pueden sumar las matrices A y B, pues la matriz D no tiene el mismo número de filas que las matrices A y B. Entonces sumaremos solo A y B:

\large A_{\left ( 2\times 2 \right )}+B_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 2+3 &1+4 \\ 2+7 &4+0 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 5 &5 \\ 9 &4 \\ \end{vmatrix}

Multiplicación de matrices por escalares

Ahora veamos cómo se multiplican matrices por escalares (números reales). Decimos que tenemos una matriz A(n×m) multiplicada por α:

\large A_{\left ( n\times p \right )}\cdot B_{\left ( p\times m \right )} =C_{\left ( n\times m \right )}

Entonces a cada elemento de la matriz A se le multiplicara por α:

\large A_{\left ( n\times p \right )} = \begin{vmatrix} a_{i1} &a_{i2} &a_{ip} \end{vmatrix}

\large B_{\left ( p\times m \right )} = \begin{vmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ b_{pj} \end{vmatrix}

\large \begin{vmatrix} a_{i1} &b_{i2} &b_{ip} \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ b_{pj} \end{vmatrix} = a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+a_{ip}\cdot b_{jp}

Multiplicación de matrices

Para que la multiplicación de matrices pueda efectuarse, la primera matriz debe tener el número de columnas igual al número de filas de la segunda matriz, es decir, A(n × p)·B(p × m) el resultado de esta multiplicación debe ser una matriz que tenga las n filas de A y las m columnas de B. Entonces:

A(n × p)·B(p × m) = C(n × m)

Ejemplo:

\large A_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 1 &4 \\ 3 &4 \\ \end{vmatrix}

\large B_{\left ( 2\times 2 \right )} = \begin{vmatrix} 2 &3 \\ 1 &0 \\ \end{vmatrix}

Estas dos matrices pueden multiplicarse, porque el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Multipliquemos:

\large A\cdot B=\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \\ \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} 2 &3 \\ 1 &0 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \left (1\cdot 2 \right )+\left ( 2\cdot 1 \right ) &\left (1\cdot 3 \right )+\left ( 2\cdot 0 \right ) \\ \left (3\cdot 2 \right )+\left ( 4\cdot 1 \right ) &\left (3\cdot 3 \right )+\left ( 4\cdot 0 \right ) \\ \end{vmatrix}

\large A\cdot B=C=\begin{vmatrix} 4 &3 \\ 10 &9 \\ \end{vmatrix}

Es importante saber que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir que:

\large A\cdot B\neq B\cdot A

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