Ángulos alternos

Los ángulos alternos son un conjunto de ángulos no adyacentes a ambos lados de una recta trasversal. Ésta intercepta a dos rectas (generalmente paralelas) formando ocho ángulos que se pueden clasificar como alternos externos o alternos internos.

Definición

Supongamos que tenemos dos rectas AB y CD y una recta transversal a ellas OP. Esta última intercepta a AB en r y a CD en s.

ángulos alternos

Observemos que se forman ocho ángulos, donde:

  • ∡1, ∡2, ∡7 y ∡8 son denominados ángulos alternos externos.
  • ∡3, ∡4, ∡5 y ∡6 son denominados ángulos alternos internos.

Ángulo alterno externo

Si una recta transversal OP corta a dos rectas paralelas AB y CD, los ángulos alternos externos son los que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

ángulos alternos externos

La pareja de ángulos ∡1 y ∡7; ∡2 y ∡8 son congruentes (iguales).

Ángulo alterno interno

Si una recta transversal OP corta a dos rectas paralelas AB y CD, los ángulos alternos internos son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

ángulos alternos internos

La pareja de ángulos ∡3 y ∡5; ∡4 y ∡6 son congruentes (iguales).

Teorema de los ángulos alternos

Teorema de los ángulos alternos internos

Éste establece que, cuando dos rectas se cortan por una transversal, los ángulos alternos internos resultantes son congruentes.

Demostración

Sean dos rectas paralelas AB y CD y una transversal a ellas OP. Supongamos que los ángulos externos son iguales, es decir, ∡b = ∡c y ∡a = ∡d

teorema ángulos alternos

De la figura observamos que ∡a  y ∡1  son suplementarios, esto es:

∡a  + ∡1  = 180⁰             (1)

∡3  y ∡d  también lo son, así:

                ∡3  + ∡d  = 180⁰             (2)

Igualando (1) y (2) tenemos:

∡a  + ∡1 = ∡3 + ∡d

Como ∡a = ∡d, entonces:

∡1 = ∡3

Ahora, análogamente:

                ∡b  + ∡4  = 180⁰

Y

∡2  + ∡c  = 180⁰:

Por lo tanto:

∡b  + ∡4 = ∡2  + ∡c

Ya que ∡b  = ∡c  Por lo tanto:

∡4  = ∡2

Teorema de los ángulos alternos externos

Éste establece que, cuando dos rectas se cortan por una transversal, los ángulos alternos externos resultantes son congruentes.

Demostración

Sean dos rectas paralelas AB y CD y una transversal a ellas OP. Supongamos que los ángulos internos son iguales, es decir, ∡4 = ∡2 y ∡3 = ∡1.

teorema ángulos alternos

De la figura observamos que ∡b  y ∡4  son suplementarios, esto es:

∡b  + ∡4  = 180⁰             (1)

∡2  y ∡c  también lo son, así:

                ∡2  + ∡c  = 180⁰             (2)

Igualando (1) y (2) tenemos:

∡b  + ∡4 = ∡2 + ∡c

Como ∡4 = ∡2, entonces:

∡b = ∡c

Ahora, análogamente:

                ∡a  + ∡1  = 180⁰

Y

        ∡3  + ∡d  = 180⁰:

Por lo tanto:

∡a  + ∡1 = ∡3  + ∡d

Ya que ∡1  = ∡3  Por lo tanto:

∡a  = ∡d

Ejercicio

Hallar los ángulos que faltan en figura que se presenta a continuación:

ángulos alternos

De la figura sabemos que ∡3 = 55⁰, éste es un ángulo interno a la transversal por lo que su ángulo alterno es 6. Por lo tanto:

                        ∡3 = ∡6 = 55⁰

Ahora, ∡3 y ∡4 son suplementarios, sus medidas suman 180⁰, es decir:

                        ∡3 + ∡4 = 180⁰

De aquí tenemos:

∡4 = 180⁰ – 55⁰ = 125⁰.

∡4 y ∡2 también son suplementarios, por lo que:

∡2 = 180⁰ – 125⁰ = 55⁰.

Observemos que ∡4 y ∡5 son ángulos internos y son congruentes, por lo tanto:

∡5 = 125⁰

Por lo otra parte ∡3 y ∡1 son suplementarios, por lo que:

∡1 = 180⁰ – 55⁰ = 125⁰.

Observemos que ∡1 es exterior a la transversal y su ángulo alterno es ∡8, por lo tanto:

∡8 = 125⁰

Ya que ∡8 y ∡6 son suplementarios, ∡8 y ∡6:

∡7 = 180⁰ – 125⁰ = 55⁰ = ∡6

En general:

  • ∡1 = 125⁰
  • ∡2 = 55⁰
  • ∡3 = 55⁰
  • ∡4 = 125⁰
  • ∡5 = 125⁰
  • ∡6 = 55⁰
  • ∡7 = 55⁰
  • ∡8 = 125⁰
  • ∡1, ∡2, ∡7 y ∡8 son ángulos alternos externos, donde ∡1 = ∡8; ∡2 = ∡
  • Los ángulos ∡3, ∡4, ∡5 y ∡6 son alternos internos, donde ∡3 = ∡6; ∡4 = ∡