Ecuación exponencial

Una ecuación es exponencial si la variable (incógnita) aparece en el exponente de una potencia. Para resolver este tipo de ecuaciones tenemos que recordar todas las propiedades de potenciación. En algunos casos se realizan cambios de variables para hacer su solución más sencilla. Su expresión general es la siguiente:

ax – b = 0

Donde, a y b son números reales, x es el exponente de la expresión y la incógnita de la ecuación.

ecuaciones exponenciales2

Sabiendo que la expresión general de una ecuación exponencial es ax – b = 0, buscaremos la forma de encontrar el valor de la variable incógnita a través de la aplicación de despejes y propiedades de potencia.

Resolución de ecuaciones exponenciales

Para entender cómo solucionar una ecuación de este tipo, debemos realizar algunos ejercicios:

Ejercicio 1: Hallar el valor de x  en la siguiente ecuación 2x+1 = 8.

Primero transformaremos a 8 en potencia de base 2:

8 = 2·2·2 = 2³

Reescribimos la ecuación:

2x+1 = 2³

Como las bases son iguales, se igualan los exponentes y despejamos x:

x + 1 = 3

x = 3 – 1

x = 2

Ahora, comprobemos que este valor de x es solución a la ecuación:

22+1 = 2³

2³ = 2³

8 = 8

Entonces, x = 2 es la solución a nuestra ecuación exponencial.

Ejercicio 2: Hallar el valor de x en la siguiente ecuación 35x+2 = 6561.

Transformamos 6561 en potencia de base 3:

6561 = 3·3·3·3·3·3·3·3 = 38

Reescribimos la ecuación:

35x+2 = 38

Como las bases son iguales, se igualan los exponentes y despejamos x:

5x + 2 = 8

5x = 8 – 2

x = 6/5

Para comprobar que x = 6/5 es solución lo sustituimos en la ecuación:

35(6/5)+2 = 6561

36+2 = 6561

38 = 6561

6561 = 6561

Entonces, x = 6/5 es la solución a nuestra ecuación exponencial.

Ejercicio 3: Hallar el valor de x en la siguiente ecuación 5x2 + 5x = 1/625.

Primero expresaremos 625 en potencia de base 5:

625 = 5·5·5·5 = 54

Reescribimos la ecuación:

5x2 + 5x = 1/54

Aplicando la propiedad a-n = 1/an, tenemos:

5x2 + 5x = 5-4

Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:

x2 – 5x = – 4

Quedándonos una ecuación de segundo grado:

x2 – 5x + 4 = 0

Usando la formula cuadrática x = [- b ± √(b² – 4ac) ] / 2a tendremos los valores de x solución a la ecuación exponencial:

x1 = 1

x2 = 4

Ejercicio 4: Hallar el valor de x en la siguiente ecuación 2x + 2x+1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 864.

Aplicando la propiedad de potencia an·am = an+m  tenemos:

2x + 2x ·2 + 2x ·2– 2 + 2x·2 – 3 = 864.

Sacamos factor común 2x :

2x ·(1 + 2 + 2– 2 + 2-3) = 864

A los términos 2– 2 y 2– 3  le aplicamos la propiedad de potencia a-n = 1/an:

2x ·(1 + 2 + 1/22 + 1/23) = 864

2x ·(1 + 2 + 1/4 + 1/8) = 864

2x ·(27/8) = 864

2x = (864·8)/27

2x = 256

2x = 28

x = 8