Ecuación exponencial

Una ecuación es exponencial si la variable (incógnita) aparece en el exponente de una potencia. Para resolver este tipo de ecuaciones tenemos que recordar todas las propiedades de potenciación. En algunos casos se realizan cambios de variables para hacer su solución más sencilla. La expresión general de una ecuación exponencial es la siguiente:

$\large \mathbf{a^{x}-b=0}$

Donde, a y b son números reales, x es el exponente de la expresión y la incógnita de la ecuación.

Sabiendo que la expresión general de una ecuación exponencial es a^x – b = 0, buscaremos la forma de encontrar el valor de la variable incógnita a través de la aplicación de despejes y propiedades de potencia.

¿Cómo resolver una ecuación exponencial?

Para entender cómo solucionar una ecuación de este tipo, debemos realizar algunos ejercicios:

Ejercicios de ecuaciones exponenciales

Ejercicio 1: Hallar el valor de x en la siguiente ecuación 2^x+1 = 8.

Primero transformaremos a 8 en potencia de base 2:

$\large 8=2\cdot 2\cdot 2=2^{3}$

Reescribimos la ecuación:

$\large 2^{x+1}=2^{3}$

Como las bases son iguales, se igualan los exponentes y despejamos x:

$\large x+1=3$

$\large x=3-1$

$\large x=2$

Ahora, comprobemos que este valor de x es solución a la ecuación:

$\large 2^{2+1}=2^{3}$

$\large 2^{3}=2^{3}$

$\large 8=8$

Entonces, x = 2 es la solución a nuestra ecuación exponencial.

Ejercicio 2: Hallar el valor de x en la siguiente ecuación 3^5x+2 = 6561.

Transformamos 6561 en potencia de base 3:

$\large 6561=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{8}$

Reescribimos la ecuación:

$\large 3^{5x+2}=3^{8}$

Como las bases son iguales, se igualan los exponentes y despejamos x:

$\large 5x+8=2$

$\large 5x=8-2$

$\large x=\frac{6}{5}$

Para comprobar que x = 6/5 es solución lo sustituimos en la ecuación:

$\large 3^{5\left ( \frac{6}{5} \right )+2}=6561$

$\large 3^{8}=6561$

$\large 6561=6561$

Entonces, x = 6/5 es la solución a nuestra ecuación exponencial.

Ejercicio 3: Hallar el valor de x en la siguiente ecuación 5^{x2 + 5x}= 1/625.

Primero expresaremos 625 en potencia de base 5:

$\large 625=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^{4}$

Reescribimos la ecuación $\large 5^{x^{2}+5x}=\frac{1}{5^{4}}$

Aplicando la propiedad a^-n = 1/aⁿ, tenemos:

$\large 5^{x^{2}+5x}=5^{-4}$

Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:

$\large x^{2}-5x=-4$

Quedándonos una ecuación de segundo grado:

$\large x^{2}-5x+4=0$

Usando la formula cuadrática: $\large x=-b\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{2a}}$ Tendremos los valores de x solución a la ecuación exponencial:

$\large x_{1}=1$

$\large x_{2}=4$

Ejercicio 4: Hallar el valor de x en la siguiente ecuación:

$\large 2^{x}+2^{x+1}+2^{x-2}+2^{x-3}=864$

Aplicando la propiedad de potencia aⁿ·a^m = a^n+m tenemos:

$\large 2^{x}+2^{x}\cdot 2+2^{x}\cdot 2^{-2}+2^{x}\cdot x^{-3}=864$

Sacamos factor común 2^x:

$\large 2^{x}\cdot \left ( 1+2+2^{-2}+2^{-3} \right )=864$

A los términos 2^{– 2} y 2^{– 3} le aplicamos la propiedad de potencia a^-n = 1/aⁿ:

$\large 2^{x}\cdot \left ( 1+2+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}} \right )=864$

$\large 2^{x}\cdot \left ( 1+2+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} \right )=864$

$\large 2^{x}\cdot \left ( \frac{27}{8} \right )=864$

$\large 2^{x}=\cdot \left ( \frac{864\cdot 8}{27} \right )$

$\large 2^{x}=256$

$\large 2^{x}=2^{8}$

$\large x=8$

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