Propiedades de la potenciación y logaritmo

En matemáticas cuando hablamos de potencia, nos referimos a una multiplicación abreviada y se expresa de la siguiente forma:

an = a·a·a·a·a·a…·a = b

Podemos decir, que es la multiplicación de a, n veces. Donde, a representa la base, n es el exponente y juntos son una potencia.

El logaritmo está íntimamente ligado a la potencia, siempre que a > 0 y a ≠ 1.  Observemos las dos expresiones:

logab = n   →   an = b

Es decir, el logaritmo en base a de b, es el exponente al cual debemos elevar a para que el resultado sea b. Donde, a es la base, b es el argumento del logaritmo o potencia y n es el exponente en la potencia o el logaritmo.

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Propiedades de la potenciación

  • a0 = 1, todo número elevado a la cero es igual a uno. Siempre que a ≠ 0. Ejemplo:

50 = 1    ;     800 = 1   ;     π0 = 1    ;  √2300 = 1

  • a1 = a, todo número elevado a la uno es igual al mismo número. Ejemplo:

71 = 7     ;    561 = 56    ;    (∛4)1 = ∛4     ;   (1,65)1 = 1,65

  • anam = an+m, si el producto de potencias tienen la misma base, se conserva la base y se suman sus exponentes. Ejemplo:

38·32 = 310      ;      415·4-3 = 412

  • an/am = an-m o an÷am = an-m, si tenemos división de potencias, se conserva la base y se restan sus exponentes. Ejemplo:

25 ÷ 212 = 2-7      ;     8-3/86 = 8-9       ;      64 ÷ 6-4 = 68

  • (an )m = anm, si tenemos una potencia elevada a un exponente, se conserva la base y se multiplicamos los exponentes. Ejemplo:

(55 )5 = 525      ;        (92)-3 = 9-6       ;    (-43)4 = (-4)12

  • (ab)n = an·bn, si tenemos una potencia donde su base es un producto, el exponente afectara a cada uno de los componentes de la base. Ejemplo:

(6·8)3 = 63·83         ;       (-5·2)6 = (-5)6·26       ;      (9·3)-4 = 9-4·3-4

  • (a/b)n = an/bn o (a÷b)n = an ÷ bn, si tenemos una potencia donde su base es una división, el exponente afectara a los componentes de la base. Ejemplo:

(5/2)8 = 58/28         ;     [6÷(-8)]-4 = 6-4 ÷ (-8)-4

  • a-n = 1/an, si tenemos una potencia con exponente negativo, eso es igual a una fracción, con numerador uno y denominador con la misma base pero el exponente positivo. Ejemplo:

7-6 = 1/76

  • 1 / a-n = an, pasa lo mismo que con la propiedad (8), solo que de forma contraria. Ejemplo:

1/7-3 =73

  • (a/b)-n = (b/a)n, si tenemos una fracción elevada a un exponente negativo, esto será igual a la fracción invertida pero con el exponente positivo. Ejemplo:

(9/7)-2 = (7/9)2

Propiedades de los logaritmos

  • loga1 = 0, el logaritmo de uno en cualquier base es cero. Ejemplo:

log15 1 = 0      ;       log230 1 = 0

  • loga a = 1, el logaritmo de un número igual al número de la base es uno. Ejemplo:

log2 2 = 1      ;      log80 80 = 1

  • loga an = n, el logaritmo de un número igual al número de la base elevado a un exponente, será igual al exponente. Ejemplo:

log12 123 = 3

  • loga (nm) = loga n + loga m, el logaritmo de base a de un producto, será igual a la suma de los logaritmos de base a de cada uno de los factores. Ejemplo:

log2 (3·5) = log2 3 + log2 5

  • loga xn = n loga x, el logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente, por el logaritmo de la base. Ejemplo:

log3 82 = 2· log3 8

  • logan√x = (loga x) / n, este es un caso particular de la potencia, donde el índice de la raíz para a dividir el logaritmo de la base. Ejemplo:

log4 √3 = (log4 3) / 2

  • loga (n/m) = loga n – loga m, el logaritmo de base a de una división o fracción, será igual a la diferencia o resta de los logaritmos de cada uno de los factores. Ejemplo:

log3 (27/2) = log3 27 – log3 2