Propiedades de la potenciación y logaritmo

En matemáticas cuando hablamos de potencia, nos referimos a una multiplicación abreviada y se expresa de la siguiente forma:

aⁿ = a·a·a·a·a·a…·a = b

Podemos decir, que es la multiplicación de a, n veces. Donde, a representa la base, n es el exponente y juntos son una potencia.

El logaritmo está íntimamente ligado a la potencia, siempre que a > 0 y a ≠ 1.  Observemos las dos expresiones:

log_ab = n   →   aⁿ = b

Es decir, el logaritmo en base a de b, es el exponente al cual debemos elevar a para que el resultado sea b. Donde, a es la base, b es el argumento del logaritmo o potencia y n es el exponente en la potencia o el logaritmo.

Propiedades de la potenciación

• a⁰ = 1, todo número elevado a la cero es igual a uno. Siempre que a ≠ 0. Ejemplo:

5⁰ = 1    ;     80⁰ = 1   ;     π⁰ = 1    ;  √230⁰ = 1

• a¹ = a, todo número elevado a la uno es igual al mismo número. Ejemplo:

7¹ = 7     ;    56¹ = 56    ;    (∛4)¹ = ∛4     ;   (1,65)¹ = 1,65

• aⁿa^m = a^n+m, si el producto de potencias tienen la misma base, se conserva la base y se suman sus exponentes. Ejemplo:

3⁸·3² = 3¹⁰      ;      4¹⁵·4^-3 = 4¹²

• aⁿ/a^m = a^n-m o aⁿ÷a^m = a^n-m, si tenemos división de potencias, se conserva la base y se restan sus exponentes. Ejemplo:

2⁵ ÷ 2¹² = 2^-7      ;     8^-3/8⁶ = 8^-9       ;      6⁴ ÷ 6^-4 = 6⁸

• (aⁿ )^m = a^nm, si tenemos una potencia elevada a un exponente, se conserva la base y se multiplicamos los exponentes. Ejemplo:

(5⁵ )⁵ = 5²⁵      ;        (9²)^-3 = 9^-6       ;    (-4³)⁴ = (-4)¹²

• (ab)ⁿ = aⁿ·bⁿ, si tenemos una potencia donde su base es un producto, el exponente afectara a cada uno de los componentes de la base. Ejemplo:

(6·8)³ = 6³·8³         ;       (-5·2)⁶ = (-5)⁶·2⁶       ;      (9·3)^-4 = 9^-4·3^-4

• (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ o (a÷b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ, si tenemos una potencia donde su base es una división, el exponente afectara a los componentes de la base. Ejemplo:

(5/2)⁸ = 5⁸/2⁸         ;     [6÷(-8)]^-4 = 6^-4 ÷ (-8)^-4

• a^-n = 1/aⁿ, si tenemos una potencia con exponente negativo, eso es igual a una fracción, con numerador uno y denominador con la misma base pero el exponente positivo. Ejemplo:

7^-6 = 1/7⁶

• 1 / a^-n = aⁿ, pasa lo mismo que con la propiedad (8), solo que de forma contraria. Ejemplo:

1/7^-3 =7³

• (a/b)^-n = (b/a)ⁿ, si tenemos una fracción elevada a un exponente negativo, esto será igual a la fracción invertida pero con el exponente positivo. Ejemplo:

(9/7)^-2 = (7/9)²

Propiedades de los logaritmos

• log_a1 = 0, el logaritmo de uno en cualquier base es cero. Ejemplo:

log₁₅ 1 = 0      ;       log₂₃₀ 1 = 0

• log_a a = 1, el logaritmo de un número igual al número de la base es uno. Ejemplo:

log₂ 2 = 1      ;      log₈₀ 80 = 1

• log_a aⁿ = n, el logaritmo de un número igual al número de la base elevado a un exponente, será igual al exponente. Ejemplo:

log₁₂ 12³ = 3

• log_a (nm) = log_a n + log_a m, el logaritmo de base a de un producto, será igual a la suma de los logaritmos de base a de cada uno de los factores. Ejemplo:

log₂ (3·5) = log₂ 3 + log₂ 5

• log_a xⁿ = n log_a x, el logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente, por el logaritmo de la base. Ejemplo:

log₃ 8² = 2· log₃ 8

• log_a ⁿ√x = (log_a x) / n, este es un caso particular de la potencia, donde el índice de la raíz para a dividir el logaritmo de la base. Ejemplo:

log₄ √3 = (log₄ 3) / 2

• log_a (n/m) = log_a n – log_a m, el logaritmo de base a de una división o fracción, será igual a la diferencia o resta de los logaritmos de cada uno de los factores. Ejemplo:

log₃ (27/2) = log₃ 27 – log₃ 2