Vectores iguales

Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección y un sentido. Un vector representa la magnitud y orientación de una cantidad física. Dos vectores A y B son iguales cuando tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido.

Definición

vectores igualesSi la magnitud, dirección y sentido de dos vectores  A y B son iguales, entonces se dice que ambos son vectores iguales.

Dos vectores A y B  son iguales cuando tienen la misma magnitud, |A| = |B|, la misma dirección y el mismo sentido, sin importar que no tengan el mismo origen (o punto de aplicación).

Para dos vectores iguales, sus segmentos orientados deben ser paralelos.

Ejemplo 1: Determinar si A = (3, 2) y B = (-3, 6) son vectores son vectores iguales:

A y B  serán vectores iguales si sus magnitudes (o módulos), dirección y sentido son iguales.

Cálculo de los módulos:

Sabemos que A = (3, 2), por lo tanto:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2] = √ [ (3)2 + (2)2 ]

= √ ( 9 + 4 ) =

= √13

Ahora, sabemos que B = (-3, 6), por lo tanto:

|B| = √ [ (Bx)2 + (By)2] = √ [ (-3)2 + (6)2 ]

= √ ( 9 + 36 )  =

= √45

Los módulos no son iguales, en consecuencia, los vectores A y B  no son vectores iguales.

Ejemplo 2: Dado que los puntos extremos de dos vectores son A(2, 3), B(4, -7) y C(-8, -2), D(-10, 8). Demostrar que AB  y CD son vectores iguales.

AB  y CD  serán vectores iguales si sus magnitudes (o módulos), dirección y sentido son iguales.

Cálculo de los módulos:

Tenemos dos puntos A(2, 3) y B(4, -7) que corresponden a los extremos del vector  AB; haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:

|AB| = √ [ (x2 – x1 )2 + (y2 – y1)2] = √ [ (4 – 2)2 + (-7 – -3)2 ] =

= √ [ (2)2 + (-10)2 ] =

= √ (4 + 100) =

= √104

Ahora, también tenemos dos puntos C(-8, -2) y D(-10, 8) que corresponden a los extremos del vector CD; tenemos:

|CD| = √ [ ( -10 + 8)2 + (8 + 2)2 ] =

= √ [ ( -2)2 + (10)2 ] =

= √ (4 + 100) =

= √104

Ambos módulos son iguales. Ahora, para determinar si tienen la misma dirección y sentido calculamos las pendientes de los vectores, si estas son iguales, entonces, AB  y CD  son vectores iguales:

mAB = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] = [ (-7 – 3) / (4 – 2) ] = – 10 / 2 = – 5

mCD = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] = [ (8 + 2) / (- 10 + 8) ] = 10 / – 2 = – 5

AB  y CD son vectores iguales.

Ejemplo 3: Se tienen dos vectores iguales A y B; si A tiene como puntos extremos (2, 3) Y (3, 2) y B tiene como puntos extremos (0, b) y (1, 0), encontrar el valor de b.

A y B son vectores iguales sus magnitudes o módulos son iguales, por lo tanto:

|A|=|B|

Es decir:

√ [ (Ax2 – Ax1)2 + (Ay2 – Ay1)2 ] = √ [ (Bx2 – Bx1)2 + (By2 – By1)2 ] =

 √ [ (3 – 2)2 + (2 – 3)2 ] = √ [ (1 – 0)2 + (0 – b2 ] =

√ [ (1)2 + (- 1)2 ] = √ [ (1)2 + (b2 ] =

√ 2  = √ (1 + b2) =

2 = 1 + b2

2 – 1 = b2

1 = b2

b = ± 1

Donde el valor de b que hace que A y B sean vectores iguales es b = 1.