Sean A = (Ax, Ay, Az), B = (Bx, By, Bz) y C = (Cx, Cy, Cz) la operación entre estos tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial, se le denomina producto escalar triple o producto mixto.
El producto mixto se denota como [A, B, C] y está definido como:
[A, B, C] = A · (B × C)
Por otra parte, el producto escalar triple es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de los tres vectores (tridimensionales):
El resultado de un producto mixto siempre es una cantidad escalar.
Definición
El producto escalar triple es útil cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores A = (Ax, Ay, Az), B = (Bx, By, Bz) y C = (Cx, Cy, Cz). El producto mixto se denota como [A, B, C] y está definido como:
[A, B, C] = A · (B × C)
El resultado siempre es una cantidad escalar.
Ahora, como A, B y C son vectores tridimensionales, entonces, |A · (B × C)| es igual al volumen del paralelepípedo definido por A, B y C.
Propiedades
A, B y C vectores de R3, entonces:
- El producto mixto de los vectores A, B y C es cíclico, es decir, no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si estos se transponen:
- A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
- [A, B, C] = – [B, A, C] = – [A, C, B] = [C, B, A]
- En caso que el producto mixto de los vectores A, B y C sea cero (o nulo), los tres vectores son coplanares.
¿Cómo determinar el producto mixto?
Sean A = (Ax, Ay, Az), B = (Bx, By, Bz) y C = (Cx, Cy, Cz):
- Determinamos el producto vectorial entre y B y C
- Determinamos A (B × C), al multiplicar los componentes de A con los de B × C
Por lo tanto:
Ejercicios
- Calcular el producto mixto de los vectores A = (0, 1, 1), B = (0, 1, 0) y C = (2, 0, 1).
De la fórmula del producto mixto tenemos:
Por lo tanto:
= 0 – 0 + (0 – 2) = – 2
- Hallar el volumen del paralelepípedo que determinan los vectores A = (1, 2, 3), B = (-3, 1, 4) y C = (1, 2, 1).
Sabemos que:
Volumen del paralelepípedo = |A · (B × C)|
Por lo tanto:
=|(1 – 8)(1) – ( – 3 – 4)(2) + ( – 6 – 1)(3)| = | – 7 + 14 – 21| = | – 14| = 14
- Determinar el valor de para que los vectores A = (0, 1, 1), B = (a, 3, 0) y C = (a, a, 1) sean coplanares.
Para que ambos vectores sean coplanares el producto mixto debe ser cero, es decir:
A · (B × C) = 0
Por lo tanto:
0 – a + (a2 – 3a)(1) = 0
a2 – 4a = 0
a (a – 4) = 0
Por lo tanto:
a1 = 0 y a2 = 4