Producto escalar triple

Sean A = (A_x, A_y, A_z), B = (B_x, B_y, B_z) y C = (C_x, C_y, C_z) la operación entre estos tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial, se le denomina producto escalar triple o producto mixto.

El producto mixto se denota como [A, B, C] y está definido como:

[A, B, C] = A · (B × C)

Por otra parte, el producto escalar triple es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de los tres vectores (tridimensionales):

El resultado de un producto mixto siempre es una cantidad escalar.

Definición

El producto escalar triple es útil cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores A = (A_x, A_y, A_z), B = (B_x, B_y, B_z) y C = (C_x, C_y, C_z). El producto mixto se denota como [A, B, C] y está definido como:

[A, B, C] = A · (B × C)

El resultado siempre es una cantidad escalar.

Ahora, como A, B y C son vectores tridimensionales, entonces, |A · (B × C)| es igual al volumen del paralelepípedo definido por A, B y C.

Propiedades

A, B y C vectores de R³, entonces:

1. El producto mixto de los vectores A, B y C es cíclico, es decir, no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si estos se transponen:

• A  · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
• [A, B, C] = – [B, A, C] = – [A, C, B] = [C, B, A]

2. En caso que el producto mixto de los vectores A, B y C sea cero (o nulo), los tres vectores son coplanares.

¿Cómo determinar el producto mixto?

Sean  A = (A_x, A_y, A_z), B = (B_x, B_y, B_z) y C = (C_x, C_y, C_z):

• Determinamos el producto vectorial entre y B y C

• Determinamos A (B × C), al multiplicar los componentes de A con los de B × C

Por lo tanto:

Ejercicios

1. Calcular el producto mixto de los vectores A = (0, 1, 1), B = (0, 1, 0) y C = (2, 0, 1).

De la fórmula del producto mixto tenemos:

Por lo tanto:

 = 0 – 0 + (0 – 2) = – 2

2. Hallar el volumen del paralelepípedo que determinan los vectores A = (1, 2, 3), B = (-3, 1, 4) y C = (1, 2, 1).

Sabemos que:

Volumen del paralelepípedo = |A · (B × C)|

Por lo tanto:

=|(1 – 8)(1) – ( – 3 – 4)(2) + ( – 6 – 1)(3)| = | – 7 + 14 – 21| = | – 14| = 14

3. Determinar el valor de para que los vectores A = (0, 1, 1), B = (a, 3, 0) y C = (a, a, 1) sean coplanares.

Para que ambos vectores sean coplanares el producto mixto  debe ser cero, es decir:

A · (B × C) = 0

Por lo tanto:

0 – a + (a² – 3a)(1) = 0

a² – 4a = 0

a (a – 4) = 0

Por lo tanto:

a₁ = 0  y  a₂ = 4