Vectores iguales
Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección y un sentido. Un vector representa la magnitud y orientación de una cantidad física. Dos vectores A y B son iguales cuando tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido.
Definición
Si la magnitud, dirección y sentido de dos vectores A y B son iguales, entonces se dice que ambos son vectores iguales.
Dos vectores A y B son iguales cuando tienen la misma magnitud, |A| = |B|, la misma dirección y el mismo sentido, sin importar que no tengan el mismo origen (o punto de aplicación).
Para dos vectores iguales, sus segmentos orientados deben ser paralelos.
Ejemplo 1: Determinar si A = (3, 2) y B = (-3, 6) son vectores son vectores iguales:
A y B serán vectores iguales si sus magnitudes (o módulos), dirección y sentido son iguales.
Cálculo de los módulos:
Sabemos que A = (3, 2), por lo tanto:
|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2] = √ [ (3)2 + (2)2 ]
= √ ( 9 + 4 ) =
= √13
Ahora, sabemos que B = (-3, 6), por lo tanto:
|B| = √ [ (Bx)2 + (By)2] = √ [ (-3)2 + (6)2 ]
= √ ( 9 + 36 ) =
= √45
Los módulos no son iguales, en consecuencia, los vectores A y B no son vectores iguales.
Ejemplo 2: Dado que los puntos extremos de dos vectores son A(2, 3), B(4, -7) y C(-8, -2), D(-10, 8). Demostrar que AB y CD son vectores iguales.
AB y CD serán vectores iguales si sus magnitudes (o módulos), dirección y sentido son iguales.
Cálculo de los módulos:
Tenemos dos puntos A(2, 3) y B(4, -7) que corresponden a los extremos del vector AB; haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:
|AB| = √ [ (x2 – x1 )2 + (y2 – y1)2] = √ [ (4 – 2)2 + (-7 – -3)2 ] =
= √ [ (2)2 + (-10)2 ] =
= √ (4 + 100) =
= √104
Ahora, también tenemos dos puntos C(-8, -2) y D(-10, 8) que corresponden a los extremos del vector CD; tenemos:
|CD| = √ [ ( -10 + 8)2 + (8 + 2)2 ] =
= √ [ ( -2)2 + (10)2 ] =
= √ (4 + 100) =
= √104
Ambos módulos son iguales. Ahora, para determinar si tienen la misma dirección y sentido calculamos las pendientes de los vectores, si estas son iguales, entonces, AB y CD son vectores iguales:
mAB = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] = [ (-7 – 3) / (4 – 2) ] = – 10 / 2 = – 5
mCD = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] = [ (8 + 2) / (- 10 + 8) ] = 10 / – 2 = – 5
AB y CD son vectores iguales.
Ejemplo 3: Se tienen dos vectores iguales A y B; si A tiene como puntos extremos (2, 3) Y (3, 2) y B tiene como puntos extremos (0, b) y (1, 0), encontrar el valor de b.
A y B son vectores iguales sus magnitudes o módulos son iguales, por lo tanto:
|A|=|B|
Es decir:
√ [ (Ax2 – Ax1)2 + (Ay2 – Ay1)2 ] = √ [ (Bx2 – Bx1)2 + (By2 – By1)2 ] =
√ [ (3 – 2)2 + (2 – 3)2 ] = √ [ (1 – 0)2 + (0 – b2 ] =
√ [ (1)2 + (- 1)2 ] = √ [ (1)2 + (b2 ] =
√ 2 = √ (1 + b2) =
2 = 1 + b2
2 – 1 = b2
1 = b2
b = ± 1
Donde el valor de b que hace que A y B sean vectores iguales es b = 1.
