Vectores colineales

vectores colinealesCuando dos vectores A y B aparecen en la misma recta o son paralelos a una recta determinada, se dice que son vectores colineales.

Por otra parte, cuando las relaciones que mantienen sus coordenadas son iguales y/o el producto vectorial es nulo (cero), también se dice que son  vectores colineales.

Definición

Sean A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz), si éstos son paralelos a una recta o están en una misma recta, entonces, serán vectores colineales. No importa si tienen diferente sentido.

Condiciones de colinealidad de vectores

vectores colinealesDos vectores A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz) son colineales si:

  • Las relaciones de sus coordenadas son iguales, es decir:

( Ax / Bx ) = ( Ay / By ) = ( Az / Bz )

  • El producto vectorial de ambos vectores es nulo (cero), es decir:

A × B = (AyBz – AzBy) î + (AxBz – AzBx) ĵ + (AxBy   AyBx) k = 0

O

A × B = |A| |B| sinθ = 0

Ya que θ = 0 o θ = 180 ⁰ (recordemos que θ es el ángulo entre ambos vectores).

Ejercicios

  • Determine si los vectores A = (1, -2, 1) y B = (-1, 3, 1) son colineales.

A y B serán colineales si las relaciones de sus coordenadas son iguales:

( Ax / Bx ) = ( Ay / By ) = ( Az / Bz )

( 1 / -1 ) ≠ ( -2 / 3 ) ≠ ( 1 / 1 )

Los vectores no son colineales.

  • Determine si los vectores A = (2, 4, 12) y B = (1, 2, 6) son colineales.

A y B serán colineales si las relaciones de sus coordenadas son iguales.

( Ax / Bx ) = ( Ay / By ) = ( Az / Bz )

( 2 / 1 ) = ( 4 / 2 ) = ( 12 / 6 )

2 = 2 = 2

Los vectores son colineales.

También podemos determinar si son colineales, si al calcular su producto vectorial, éste nos de cero:

A × B = (AyBz – AzBy) î + (AxBz – AzBx) ĵ + (AxBy   AyBx) k =

= (4·6 – 12·2) î + (2·6 – 12·1) ĵ + (2·2 – 4·1) k =

=  (24 – 24) î + (12 – 12 ĵ + (4 – 4) k =

= 0 î + 0 ĵ + 0 k

  • Dado que los puntos extremos de dos vectores son A(-1, 5, -3), B(1, 1, 5), C(-2, 1, 2) y D(-5, 7, -10). Determine si los vectores AB y CD son colineales.

AB y CD serán colineales si las relaciones de sus coordenadas son iguales y/o su producto vectorial es nulo:

( ABx / CDx ) = ( ABy / CDy ) = ( ABz / CDz )

Ahora, tenemos dos puntos A(-1, 5, -3) y B(1, 1, 5) que corresponden a los extremos del vector AB, por lo tanto, las coordenadas de dicho vector serán:

AB = (Bx – Ax, By – Ay, Bz – Az) = (2, -4, 8)

También tenemos dos puntos C(-2, 1, 2) y D(-5, 7, -10) que corresponden a los extremos del vector CD; por lo tanto, las coordenadas de dicho vector serán:

CD = (Dx – Cx, Dy – Cy, Dz – Cz) = (-3, 6, -12)

En consecuencia:

( 2 / -3 ) = ( -4 / 6 ) = ( 8 / -12 )

– 2/3 = – 2/3 = – 2/3

Los vectores son colineales.

AB × CD = (AByCDz – ABzCDy) î + (ABxCDz – ABzCDx) ĵ + (ABxCDy   AByCDx) k =

= [ (-4)·(-12) – 8·6) î + [2·(-12) – 8·(-3)] ĵ + [2·6 – (- 4)·(-3)] k =

=  (48 – 48) î + (-24 – 24) ĵ + (12 – 12) k =

= 0 î + 0 ĵ + 0 k