Producto escalar

producto escalar
Figura I.

Sean A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz); el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define como:

AB = |A| |B| cosθ

Donde θ  es el ángulo entre ambos vectores. También, se puede expresar como:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz

El producto escalar siempre es un número real, es conmutativo y distributivo, de él surge el teorema del coseno. Además, cuando el producto escalar de dos vectores A y B  es nulo (cero) significa que son perpendiculares entre sí.

Definición

Se le denomina producto escalar (o producto punto o producto interno) de dos vectores A y B  a un escalar cuyo valor será igual al producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo que ellos forman:

AB = |A| |B| cosθ

El producto escalar representa la proyección del vector A sobre el vector B y equivalentemente a la proyección de B sobre A (Figura I). Otra forma de expresar el producto escalar es:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz

Propiedades

  1. El producto escalar de un vector consigo mismo, siempre es positivo:

ζA = AA = |A|2 ≥ 0

Y sólo será nulo si A es un vector nulo. Por lo tanto:

|A| = √( AA ) = ζA

  1. El producto escalar es conmutativo:

AB = BA

Ya que el ángulo entre los vectores es el mismo y la multiplicación entre escalares es conmutativa.

  1. El producto escalar es distributivo:

A ∙ (B + C) = AB + AC

  1. La multiplicación por un escalar:

β ∙ (AB) = |β||A||B| cosθ

A) ∙ (βB) = |βA||B| cosθ = |A||βB|cosθ

  1. Del producto escalar surge el Teorema del Coseno:

C = A + B

C · C = (A + B) · (A + B)

|C|2 = |A|2 + |B|2 + 2|A||B| cosθ

Que no es otra cosa que el teorema del coseno.

Teorema del coseno

  1. Diremos que dos vectores, no nulos, son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es nulo (cero):

AB           →         θ = π/2           →          AB = |A||B| cosθ = 0

Ejercicios

  1. Calcular el producto escalar de los vectores A = (2, 4, 5) y B = (- 2, 3, 7).

De la fórmula del producto escalar tenemos:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz

Por lo tanto:

A · B = (2)(-2) + (4)(3) + (5)(7) =

= – 4 + 12 + 35 =

= 43  

  1. Calcular el producto escalar de los vectores A = (2, 3) y B = (-1, 1), considerando que el ángulo entre ambos es θ = 30⁰.

De la fórmula del producto escalar tenemos:

AB = |A| |B| cosθ

Calculamos el módulo de ambos vectores:

|A|= √ [ (Ax)2 +(Ay)2  ]= √ [ (2)2 +(3)2 ]  = √ (4 + 9 ) = √13

|B|= √ [ (Bx)2 +(By)2  ]= √ [ (-1)2 +(1)2 ]  = √ (1 + 1 ) = √2

Por lo tanto:

AB = √13 √2 cos30 ⁰ =

= (√26 √3)/2 =

= √78 / 2

  1. Determinar si los vectores A = (2, – 3) y B = (-5, -10/3) son perpendiculares.

Dos vectores A y B  son perpendiculares si el producto escalar de ambos es cero, es decir:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz = 0

Por lo tanto:

A · B = (2)(-5) + (-3)(-10/3) =

= – 10 + 10 =

= 0

Ambos vectores son perpendiculares.

  1. Dados los vectores A = (2, a) y B = (3, -2), calcular a para que ambos vectores sean perpendiculares.

Para que ambos vectores sean perpendiculares el producto escalar de ambos debe ser cero, es decir:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz = 0

Por lo tanto:

A · B = (2)(3) + a(-2) = 0

6 – 2a = 0

6 = 2a

6/2 = a

a = 3