Vector posición

Un vector es un segmento de recta orientado mediante una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos:

vector

vectorposicionEl punto A se le llama origen y el punto de la flecha (B) se llama extremo del vector.

Un vector posición es un vector que representa la posición de un punto en el espacio con respecto a un origen; también representa la distancia que separa dichos puntos. El vector posición OP une el origen de coordenadas (0, 0) con un punto P del espacio.

Notación

vector posicionSean  A y B dos puntos en el espacio, cuyas coordenadas son:

A = (Ax, Ay) ; B = (Bx, By) ;

En el espacio 2D, las coordenadas (o componentes) del vector posición AB son las coordenadas del extremo B menos las coordenadas del origen A, es decir:

AB = (Bx – Ax, By – Ay)

También las podemos expresar de esta manera:

AB = (Bx – Ax) î + (By – Ay) ĵ

vector posicion2En el espacio tridimensional (3D), las componentes del vector posición serán:

AB = (Bx – Ax,  By – Ay, Bz – Az)

O

AB = (Bx – Ax) î + (By – Ay) ĵ + (Bz – Az) k

Generalmente, sobretodo en Física, el vector posición se representa con la letra “r”.

El vector posición de un punto P con respecto al origen, es representado como: OP = (x, y, z)

Ejercicios

  1. Determine el vector posición de un punto P(7, -2, 5) con respecto al origen.

El vector posición vendrá dado por:

OP = (x – 0, y – 0, z – 0) = (7, -2, 5)

  1. Hallar las componentes del vector posición cuyos extremos son: A(2, 1) y B(-6, 3).

El vector posición vendrá dado por:

AB = (Bx – Ax, By – Ay) = (- 6 – 2, 3 – 1) = (-8, 2)

  1. Hallar las componentes del vector posición cuyos extremos son: A(7, 0, -4) y B(2, -2, -3).

El vector posición vendrá dado por:

AB = (Bx – Ax) î + (By – Ay) ĵ + (Bz – Az) k = (2 – 7) î + (-2 – 0) ĵ + (-3 – (-4)) k =

= -5 î – ĵ +  k

  1. El vector posición AB tiene como componentes (3, -8). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B = (-7, 2).

El vector posición vienen dado por:

AB = (Bx – Ax, By – Ay) = (- 7 – Ax, 2 – Ay) = (3, -8)

Por lo tanto, tenemos que:

– 7 – Ax = 3

– Ax = 3 + 7

– Ax = 10

Ax = -10

Y

2 – Ay = – 8

– Ay = – 8 – 2

– Ay = – 10

Ay = 10

En consecuencia:

A = (-10, 10)