Cosenos directores

Se llaman cosenos directores de un vector A, a los cosenos de los ángulos que él con cada uno con los ejes coordenados. En un plano tridimensional se representan como:

cosenos directores

Donde: Cosα = Ax /|A| ;  Cosβ = Ay /|A| ;  Cosγ = Az /|A|  

Definición

Se le denominan cosenos directores de un vector A a los cosenos de los ángulos que forma dicho vector con cada uno con los ejes coordenados; estos determinan su dirección a lo largo de cada eje. El número de cosenos directores depende del número de dimensiones del sistema, si es de dos dimensiones, existirán dos cosenos directores. Si es tridimensional, existirán tres.

Cosenos directores en dos dimensiones

cosenos directoresSea A = xî + yĵ, entonces los cosenos directores vienen dados por:

Cosα = Ax /|A| ;  Cosβ = Ay /|A|

Donde α y β son los ángulos que forma el vector A con los ejes x e y. Y la suma de los cuadrados de todos los cosenos directores es igual a uno:

Cos2α + Cos2β = 1

Cosenos directores en el espacio (3D)

Sea A = xî + yĵ + zk, entonces los cosenos directores vienen dados por:

Cosα = Ax /|A| ;  Cosβ = Ay /|A| ;  Cosγ = Az /|A|  

Donde α, β y γ son los ángulos que forma el vector  con los ejes x, y, z. Y la suma de los cuadrados de todos los cosenos directores es igual a uno:

Cos2α + Cos2β + Cos2γ = 1

Ejercicios

  1. Determinar los cosenos directores del vector A = (5, 7, -3).

Como A = (Ax, Ay, Az) = (5, 7, -3) entonces:

Ax = 5;  Ay = 7; Az = -3

Ahora, los cosenos directores vendrán dados por:

Cosα = Ax /|A| ;  Cosβ = Ay /|A| ;  Cosγ = Az /|A|  

Calculemos el módulo (o magnitud) de A :

|A| = √[ (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 ] = √[ (5)2 + (7)2 + (-3)2 ] =

= √( 25 + 49 + 9 ) =

= √83

Por lo tanto:

Cosα = 5/√83

 Cosβ = 7/√83

 Cosγ = – 3/√83  

  1. Determine los cosenos directores del vector A = (1, -2, 4) y compruebe que la suma de los cuadrados de todos los cosenos directores es igual a uno.

Como A = (Ax, Ay, Az) = (1, -2, 4) entonces:

Ax = 1;  Ay = -2; Az = 4

Los cosenos directores vendrán dados por:

Cosα = Ax /|A| ;  Cosβ = Ay /|A| ;  Cosγ = Az /|A|  

Calculemos el módulo (o magnitud) de A:

|A| = √[ (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 ] = √[ (1)2 + (-2)2 + (4)2 ] =

= √( 1 + 4 + 16 ) =

= √21

Por lo tanto:

Cosα = 1/√21

 Cosβ = – 2/√21

 Cosγ = 4/√21  

Ahora, debemos comprobar que:

Cos2α + Cos2β + Cos2γ = 1

Por lo tanto:

(1/√21)2 + (- 2/√21)2 + (4/√21  )2 = 1/21 + 4/21 + 16/21 = 21/21 = 1

Que es lo que deseábamos comprobar.

  1. Mediante los cosenos directores determinar los ángulos α y β que forma el vector A = (-4, 3) con los ejes x e y.

Como A = (Ax, Ay) = (-4, 3) entonces:

Ax = -4;  Ay = 3

Los cosenos directores vendrán dados por:

Cosα = Ax /|A| ;  Cosβ = Ay /|A|

Calculemos el módulo (o magnitud) de A:

|A| = √[ (Ax)2 + (Ay)2 ] = √[ (-4)2 + (3)2 ] =

= √( 16 + 9 ) =

= √25 =

= 5

 Por lo tanto:

Cosα = – 4/5   ”   α = arc cos (- 4/5) = 2,498 rad

Como 1 radián ≅ 57.296 °, entonces

α = 143,13 °

De forma análoga:

Cosβ = 3/5   ”   β = arc cos (3/5) = 0,927 rad = 53,13 °