Campo vectorial

campovectorialEn física, un campo vectorial representa la distribución espacial de la magnitud y dirección de un vector; en matemáticas, es una función F: D ⊆ Rn  → Rn que a cada punto del espacio (de n dimensiones) le asigna un vector (de n componentes).

En caso de que n = 2, el campo vectorial (llamado campo vectorial en el plano)  es una función que a cada punto del dominio le asigna un vector de dos componentes; en el caso cuando n = 3, el campo vectorial (llamado campo vectorial en el espacio)  es una función que a cada punto del dominio le asigna un vector de tres componentes.

Definición

Físicamente, un campo vectorial es un diagrama que muestra la magnitud y la dirección de los vectores (velocidades, fuerzas) en diferentes lugares del espacio. Matemáticamente un campo vectorial en  es una función F: D ⊆ Rn  → Rn  que asigna a cada punto x = (x1, x2, x3,…, xn) ϵ D un vector:

F(x) = (F1(x), F2(x), F3(x),…, Fn(x))

Donde F1(x), F2(x), F3(x),…, Fn(x) son sus funciones componentes, que son funciones escalares de n variables.

Campo vectorial en el plano

Si F: D ⊆ R2  → R2  entonces se denomina como campo vectorial en el plano, en este caso, es una función F que a cada punto (x, y) ϵ D se le asigna un vector de dos componentes:

F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

Donde P(x, y) y Q(x, y) son sus dos funciones componentes, que son funciones escalares de dos variables.

Campo vectorial en el espacio

Si F: D ⊆ R3  → R3  entonces se denomina como campo vectorial en el espacio, en este caso, es una función F  que a cada punto (x, y, z) ϵ D se le asigna un vector tres dos componentes:

F(x, y) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

Donde P(x, y, z), Q(x, y, z) y R(x, y, z) son sus tres funciones componentes, que son funciones escalares de tres variables.

Ejemplos de campos vectoriales

Como hemos dicho anteriormente, los campos vectoriales representan magnitudes de carácter vectorial, por lo tanto, entre estos se encuentran el campo de velocidades en un fluido, el campo gravitacional, el campo eléctrico, el campo magnético, entre otros.

Continuidad

Un campo vectorial es continuo si y solo si todas sus funciones componentes son continuas. Por ejemplo, el campo vectorial:

F(x, y) = (x + y, 2x + 1)

Es continuo en toda R.

Representación gráfica

Podemos representar gráficamente un campo vectorial en el plano mediante un conjunto de flechas, donde cada una corresponderá al vector F(x, y)   con origen en el punto (x, y) del plano. Ejemplo: Representar gráficamente el campo vectorial F: D ⊆ R2  → R2 / F(x, y) = (-y, x)

Sabemos que si F: D ⊆ R2  → R2, entonces:

F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

De aquí que:

P(x, y) = – y ; Q(x, y) = x

  • Evaluamos algunos puntos (x, y) en la función F(x, y) y construimos una tabla de valores:

campovectorial

  • Tomamos el primer vector resultante (1, -1) y lo graficamos tomando como origen el punto (x, y) = (-1, -1):

campovectorial

  • Tomamos el segundo vector resultante (1, 1) y lo graficamos tomando como origen el punto (x, y) = (1, -1):

campovectorial

  • Repetimos el procedimiento con los otros dos vectores resultantes:

campovectorial

Si queremos representar gráficamente un campo vectorial en el espacio, también lo podemos hacer mediante un conjunto de flechas, donde cada una  corresponderá al vector F(x, y, z) con origen en el punto (x, y, z) del plano.