Transformaciones de funciones

Imaginemos que inicialmente tenemos graficada una función cualquiera y luego observamos que ésta está trasladada de posición (ya sea horizontalmente o verticalmente), comprimida (o dilatada) y reflejada en torno a un eje. La aplicación de estos procesos anteriores a una función cualquiera, se llama transformación de funciones.

Cuando hablamos de transformaciones de funciones, aplicamos tres procesos fundamentales:

1. Traslación: que nos permite mover una función a la izquierda, derecha, arriba o abajo.
2. Escalamiento: que nos permite ensanchar o estrechar una función en determinada dirección.
3. Reflexión: que nos permite reflejar a la función con respecto a los ejes x o y.

Una expresión general para transformación de funciones es la siguiente:

f(x)=a(x-h)+k

Donde, a,h y k son numero reales, x la variable.

• h Representa una traslación horizontal de la función.
• k Representa una traslación vertical de la función.

Para a existen diferentes casos:

• Si a multiplica a la función de x (a·f(x)), entonces se dilatara o comprimirá con respeto al eje vertical:
  • a > 0 se dilatara.
  • a < 0 se comprimirá.
• Si a multiplica directamente a la variable x (a·x), entonces se dilatara o comprimirá con respecto al eje horizontal.
  • a > 0 se comprimirá.
  • a < 0 se dilatara.

Para que ocurra una reflexión en el eje x se debe multiplicar por algún número negativo a toda la función (- f(x)), en cambio para que ocurra la reflexión con respecto al eje y, se debe multiplicar por algún número negativo a la variable x (-x).

Ejemplo: Tenemos la siguiente función:

Veamos lo que ocurre si a ésta le sumamos algún número:

La función se ha trasladado de manera vertical. Ahora, restemos un número a la variable x:

La función se ha trasladado de manera horizontal. Por último, multipliquemos por un número negativo:

La función se ha reflejado con respecto al eje x y se dilató con respecto al eje y.