Composición de funciones

Si tenemos dos o más funciones que están contenidas una dentro de otra, le llamamos funciones compuestas. Su expresión general es la siguiente:

\mathbf{\left ( f\circ g \right )(x))=f(g(x))}

El valor de la función compuesta en x es igual a la función f evaluada en g(x).

composición de funciones - funciones compuestas

Definición




Dadas dos funciones f y g, se define la función compuesta de f con g como:

\mathbf{\left ( f\circ g \right )(x)=f(g(x))}

Su dominio es el conjunto de todas las x (variable) que están en el dominio de g, tales que g(x) pertenezca al dominio de f. Es decir:

\mathbf{Dom(f\circ g)=\left \{ x\in Dom(g)\left | g(x)\in Dom(f) \right \}}

Ejercicio 1: Sean:

f(x)=2x^{4}-x^{2}

y

g(x)=\sqrt{x-4}

Determine:

    1. (f\circ g)
    2. Su dominio

Sabemos que:

(f\circ g)(x)=f(g(x))

Primero sustituimos el valor de g(x):

(f\circ g)(x)=f(\sqrt{x-4})

Ahora, para evaluar f, sustituimos x = g(x):

(f\circ g)(x)=2\sqrt{\left ( x-4 \right )^{4}}-\sqrt{\left ( x-4 \right )^{2}}

Simplificamos:

(f\circ g)(x)=2\(x-4)^{2}-(x-4)

Resolvemos el binomio:

\left ( f\circ g \right )=2\left ( x^{2}-8x+16 \right )-x+4

\left ( f\circ g \right )=2x^{2}-16x+32-x+4

\left ( f\circ g \right )=2x^{2}-17x+36

Para determinar el dominio debemos recordar que:

Dom(f\circ g)=\left \{ x\in Dom(g)\left | g(x)\in Dom(f) \right \}

Buscaremos primero el dominio de g(x); como la función tiene una raíz y dentro está de ella la variable, ésta no puede ser negativa:

x-4\geq 0

x\geq 4

Entonces el dominio de g serán todos los valores mayores o iguales a cuatro, es decir:

Dom(g)=\left [ 4, \infty \right )

Para el dominio de f: como su función es un polinomio, serán todos los números reales, es decir:

Dom(f)=\left (- \infty , \infty )

Como estamos buscando el dominio de la función compuesta, sabemos que este dominio depende directamente de g(x), por lo tanto:

Dom(f\circ g)=\left [ 4, \infty \right )