Teorema del factor cero

Si tenemos dos expresiones algebraicas A y B y el producto de estas es igual a cero, es decir:

A × B = 0

Entonces:

• A = 0
• B = 0
• O ambas deben ser igual a cero.

Esto se conoce como el teorema de factor cero.

Ejemplo 1: Sea A = (x + 8) y B = (x – 3).

Aplicando el teorema A × B = 0 tenemos:

(x + 8) × (x – 3) = 0

Por lo tanto, una de ellas o ambas deben ser igual a cero, es decir:

• x + 8 = 0
• x – 3 = 0
• o ambos

Al resolverlas por separado:

x + 8 = 0

x = – 8

y

x – 3 = 0

x = 3

Por lo tanto, ambos valores, x = – 8 y x = 3, son soluciones de la expresión algebraica ya que se cumple con el teorema.

Ejemplo 2 : Sea x² – 8x + 15 = 0.

La ecuación la podemos reescribir como

(x – 3)(x – 5) = 0

Por el teorema de factor cero sabemos que una de ellas o ambas deben ser igual a cero, es decir:

• x – 3 = 0
• x – 5 = 0
• o ambos

Al resolverlas por separado:

x – 3  = 0

x = 3

y

x – 5 = 0

x = 5

Por lo tanto, ambos valores, x = 3 y x = 5, son soluciones de x² – 8x + 15 = 0 ya que  se cumple con el teorema.

Ejemplo 3 : Sea x⁴ + x³ – 12x² = 0.

Sacando factor común de x², tenemos:

x²(x² + x – 12) = 0

Que podemos reescribir como:

x²(x – 3)(x + 4) = 0

Por el teorema de factor cero sabemos que una de ellas o todas deben ser igual a cero, es decir:

• x – 3 = 0
• x + 4 = 0
• x² = 0

Al resolverlas por separado:

x – 3  = 0

x = 3

x + 4 = 0

x = – 4

x² = 0

x = 0

Por lo tanto, x = 3; x = – 4 y x = 0, son soluciones de x⁴ + x³ – 12x² = 0 ya que  se cumple con el teorema.