Ecuaciones reducibles a la forma cuadrática

ecuacion reducibles cuadráticasEn algunas ocasiones nos encontraremos con ecuaciones polinómicas particulares o especiales, como por ejemplo x4 – 5x2 + 4 = 0, las cuales parecen complicadas de resolver. Sin embargo, si utilizamos  un artificio matemático llamado cambio (o sustitución) de variable, podremos reducirlas a una ecuación cuadrática. Con esto, podemos encontrar su solución más fácilmente. Veamos:

Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación x4 – 13x2 + 36 = 0.

Basándonos en la propiedad de la potencia (xa)b = xa + b, podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:

 (x2)2 – 13(x2) + 36 = 0

Realizando el cambio de variable w = x2, es decir, donde veamos un x2 le sustituiremos por w. La ecuación quedara escrita como:

w2 – 13w + 36 = 0

La ecuación ha quedado reducida a una ecuación cuadrática. Para resolverla usamos la  formula cuadrática

w = [ – b ± √ (b– 4ac) ] / 2a             (1)

Los coeficientes son: a = 1; b = – 13 y c = 36.

Sustituyendo en (1) obtenemos las siguientes raíces  w1 = 9 y w2 = 4.

Ahora, como w = x2, tenemos:

x = ± √w

Para  w1 obtenemos dos raíces:

x1,2 = ± √9 = ± 3

Para  w2 también dos:

x3,4 = ± √4 = ± 2

En consecuencia, las raíces de la ecuación original son x1 = 3, x2 = – 3, x3 = 2, x4 = – 2.

En general, en aquellas ecuaciones que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se puedan escribir de la forma: ax2n + bxn + c = 0, con a ≠ 0, podemos hacer el cambio de variable w = xn para expresarlas como una ecuación de segundo grado: aw2 + bw + c = 0.

Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación x6 – 7x3 – 8 = 0.

Observemos que podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:

(x3)2 – 7(x3) – 8 = 0

Realizando el cambio de variable w = x3, la ecuación puede ser escrita como:

w2 – 7w – 8 = 0

Al resolver esta ecuación, obtenemos las siguientes raíces solución w1 = 8 y w2 = -1.

Ahora, como w = x3, tenemos:

x = ∛w

Cuando w1 = 8, obtenemos tres raíces (una real y dos imaginarias conjugadas):

x1 = 2

x2 = – 1 + i √2

x3 = – 1 – i √2

Cuando w2 = -1, obtenemos tres raíces (una real y dos imaginarias conjugadas):

x4 = -1

x5 = 1/2 + i √2

x6 = 1/2 – i √2

Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0.

Inmediatamente aplicamos un cambio de variable g = x2 – x; reescribimos la ecuación:

g2 – 8g + 12 = 0

Al resolver esta ecuación, obtenemos las siguientes raíces solución g1 = 6 y g2 = 2.

Ahora, como g = x2 – x, tenemos:

x2 – x – g = 0

Para g1 = 6, obtenemos la ecuación:

x2 – x – 6 = 0

Si la resolvemos obtenemos dos raíces:  x1 = – 3 y  x2 = 2

Repitiendo el procedimiento para g2 = 2, obtenemos la ecuación:

x2 – x – 2 = 0

obtenemos dos raíces:  x3 = 1 y  x2 = -2

En consecuencia, las raíces solución de la ecuación original “x6 – 7x3 – 8 = 0” son x1 = – 3, x2 = 2, x3 = 1, x4 = – 2.