Una expresión racional o expresión algebraica es un cociente de polinomios; si p(x) y q(x) son dos polinomios, con q(x) ≠ 0, entonces el cociente p(x) / q(x) es una expresión racional.
Ahora, sea [p(x) / q(x)] y [r(x) / s(x)] dos expresiones racionales con q(x) ≠ 0 y s(x) ≠ 0, entonces:
- [p(x) / q(x)] + [r(x) / s(x)] = [p(x)∙s(x) + r(x)∙(q(x)] / q(x)∙s(x)
- [p(x) / q(x)] – [r(x) / s(x)] = [p(x)∙s(x) – r(x)∙q(x)] / q(x)∙s(x)
En general, para sumar y restar expresiones racionales se recomienda seguir los siguientes pasos:
Pasos para sumar y restar expresiones racionales
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- Factorizar completamente todos los denominadores.
- Determinar el común denominador o mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Para ello se escogen los factores no repetidos y los repetidos con mayor exponente.
- Convertir todas las fracciones en homogéneas, de manera que todas tengan el (mcm) en el denominador.
- Resolver aplicando operaciones (+,-,×,÷) de fracciones homogéneas.
Ejemplo: Resolver la siguiente expresión racional: [2 / (x – 4)] – [x /(x² – 2x – 8)] + [(x – 3) / (x² + x – 2)]
- Factorizamos completamente todos los denominadores:
[2 / (x – 4)] – [x / (x – 4)(x + 2)] + [(x – 3) / (x + 2)(x – 1)] (1)
- Encontramos el (mcm): de todos los denominadores de la expresión (1), vemos que el menos común es (x – 1) y de los repetidos se toman los que tengan mayor exponente, en este caso tomamos (x – 4) y (x + 2). Entonces:
(mcm) = (x – 1)(x – 4)(x + 2)
- Convertimos las fracciones en homogéneas: multiplicamos y dividimos el (mcm) por la expresión (1), tanto en el numerador como en el denominador:
[2 / (x – 4)] – [x / (x – 4)(x + 2)] + [(x – 3) / (x + 2)(x – 1)] ∙ {[(x – 1)(x – 4)(x + 2)] / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)]} =
= {[ 2(x-1)(x+2)] / [(x-1)(x-4)(x+2)]} – {x(x – 1) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)]} + {[(x – 3)(x – 4)] / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)]} =
- Resolvemos aplicando operaciones (+,-,×,÷) de fracciones homogéneas:
= [2(x – 1)(x + 2) – x(x – 1) + (x – 3)(x – 4)] / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)] =
= [2(x² + x – 2) – x² + x + x² – 7x + 12] / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)] =
= (2x² + 2x – 4 – x² + x + x² – 7x + 12) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)] =
= (2x² – 4x + 8) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2) =
= 2(x² – 2x + 4) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)] (2)
Como las raíces de la ecuación cuadrática del numerador son imaginarias, el resultado final es la expresión (2), es decir:
[2 / (x – 4)] – [x /(x² – 2x – 8)] + [(x – 3) / (x² + x – 2)] = 2(x² – 2x + 4) / [(x – 1)(x – 4)(x + 2)]
