División de expresiones racionales

Sea p(x) y q(x) dos polinomios, con q(x) ≠ 0, entonces el cociente p(x) / q(x) es una expresión racional o expresión algebraica. Ahora sea p(x) / q(x) y r(x) / s(x) dos expresiones racionales con q(x) ≠ 0 y s(x) ≠ 0, entonces:

[p(x) / q(x)] ÷ [r(x) / s(x)] = p(x)∙s(x) / q(x)∙(r(x)

En general, para dividir expresiones racionales recomendamos seguir los siguientes pasos:

Pasos para dividir expresiones racionales

  1. Multiplicar el numerador del primer término con el denominador del segundo y colocar ese resultado en el numerador después de la igualdad.
  2. Multiplicar el denominador del primer término por el numerador del segundo y colocar el resultado en el denominador después de la igualdad.
  3. Factorizar los términos del numerador y denominador, para luego simplificar.

division expresiones racionales

Ejemplo 1: Resolver la siguiente división de expresiones racionales  [(x² – 9) / (6x + 18)] ÷ [(x – 3) / 6].

Multiplicamos el numerador del primer término con el denominador del segundo:

(x² – 9) × 6 = 6(x² – 9)

Este resultado será el numerador de nuestra expresión racional final:

[(x² – 9) / (6x + 18)] ÷ [(x – 3) / 6] =  6(x² – 9) / ¿?

Multiplicamos el denominador del primer término con el numerador del segundo:

(6x + 18) × (x – 3)  = (6x + 18)(x – 3)

Este resultado será el numerador de nuestra expresión racional final:

[(x² – 9) / (6x + 18)] ÷ [(x – 3) / 6] =  6(x² – 9) / [(6x + 18)(x – 3)]

Factorizamos los términos del numerador y denominador:

Como (a² –  b²) = (a + b)(a – b), tenemos:

=  6(x² – 9) / [(6x + 18)(x – 3)] = [6(x + 3)(x – 3)] / [(6x + 18)(x – 3)] = 1

Resultado final:

[(x² – 9) / (6x + 18)] ÷ [(x – 3) / 6] = 1

Ejemplo 2: Resolver la siguiente división de expresiones racionales  [(x² + 3x) / (x² + 2x – 3) ÷ [x / (x + 1)].

Pasos 1 y 2:

[(x² + 3x) / (x² + 2x – 3) ÷ [x / (x + 1)] = [(x² + 3x) (x + 1)] / [x(x² + 2x – 3)] =

Paso 3:

= [x(x+3)(x+1)] / [x(x + 3)(x – 1)] = (x + 1) / (x – 1)

Resultado final:

[(x² + 3x) / (x² + 2x – 3) ÷ [x / (x + 1)] = (x + 1) / (x – 1)

Ejemplo 3: Resolver la siguiente división de expresiones racionales  (n + 1) ÷ [(n² + 4n + 3) / 5].

Paso 1 y 2:

(n + 1) ÷ [(n² + 4n + 3) / 5] = 5(n+1) / (n² + 4n + 3) =

Paso 3:

=(5)(n+1) / [(n + 1)(n + 3)] = 5 / (n + 3)

Resultado final:

(n + 1) ÷ [(n² + 4n + 3) / 5] = 5 / (n + 3)