Solución a las ecuaciones con radicales

ecuacion irracionalUna ecuación con radicales o ecuación irracional, es toda aquella que tiene una incógnita bajo el signo radical. Para resolver este tipo de ecuaciones debemos aislar las raíces que contienen las incógnitas en un miembro de la ecuación y posteriormente elevar ambos miembros a una potencia igual al índice de la raíz.

Pasos para resolver una ecuación con radicales o irracional

Para resolver ecuaciones con radicales debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Aislar a un lado de la igualdad el radical que contenga la variable en cuestión.
  2. Elevar ambos miembros a una potencia igual al índice de la raíz involucrada. Por ejemplo, si la incógnita está bajo una raíz cuadrada, elevaremos al cuadrado ambos lados de la igualdad.
  3. Si la ecuación obtenida en el paso 2 no contiene radicales, se debe resolver aplicando las operaciones (+, -, ×, ÷) que sean necesarias para obtener el valor solución. Si por el contrario tiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación si radicales.
  4. Sustituir los valores obtenidos en el paso anterior en la ecuación inicial y evaluar si cumplen con esta última. En algunas ocasiones, al realizar lo anterior, pueden aparecer soluciones “erróneas”, denominadas raíces extrañas. Por ello, siempre hay que realizar la comprobación en la ecuación inicial para detectar y desechar las soluciones que no son válidas, es decir, aquellas que no cumplen con ésta.

Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación: √(8x – 7) – 2 = 3.

Aislamos al primer miembro el radical que contiene la variable, para ello sumamos +2 en ambos lados de la igualdad:

√(8x – 7) – 2 + 2 = 3 +2

√(8x – 7) = 5

Observemos que la incógnita está bajo una raíz cuadrada, por lo tanto, elevamos al cuadrado  ambos miembros:

[√(8x – 7)]² = 5²

Eliminamos el radical al cuadrado:

8x – 7 = 25

Sumamos 7 en ambos miembros de la ecuación:

8x – 7 + 7 = 25 + 7

8x = 32

Dividiendo entre 8 ambos miembros de la ecuación:

8x / 8 = 32 / 8

x = 4

Al sustituir x = 4 en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o no, comprobamos que √(8x – 7) – 2 = 3, es correcta. Por tanto:

Solución: x = 6.

Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación [∛(4x – 1) + 5] / 2 = 4

Aislamos al primer miembro el radical que contiene la variable, para ello multiplicamos por 2 ambos lado y luego restamos 5:

{[∛(4x – 1) + 5] / 2} × 2 = 4 × 2

∛(4x – 1) + 5 = 8

∛(4x – 1) + 5 – 5 = 8 – 5

∛(4x – 1) = 3

Observemos que la incógnita está bajo una raíz cúbica, por lo tanto, elevamos al cubo ambos miembros:

[∛(4x – 1)]³ = 3³

Eliminamos el radical al cubo:

4x – 1 = 27

Sumamos 1 en ambos miembros de la ecuación:

4x – 1 + 1 = 27 + 1

4x = 28

Dividiendo entre 4 ambos miembros de la ecuación:

4x / 4 = 28 / 4

x = 7

Al sustituir x = 7 en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o no, comprobamos que [∛(4x – 1) + 5] / 2 = 4, es correcta. Por tanto:

Solución: x = 7.

Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación: √ [ 2 + √ (x – 5 ) ] = √ (13 – x)

Observemos que la incógnita está bajo una raíz cuadrada, por lo tanto, elevamos al cuadrado ambos miembros:

{ √ [ 2 + √ (x – 5 ) ] }² = { √ (13 – x) }²

Eliminamos los radicales al cuadrado:

2 + √ (x – 5 ) = 13 – x

Restamos 2 en ambos miembros de la ecuación:

√ (x – 5 ) = 13 – x – 2

Veamos que la incógnita sigue estando bajo un signo radical:

√ (x – 5 ) = 11 –  x

Por lo tanto, elevamos al cuadrado ambos miembros:

[ √ (x – 5 ) ]² = ( 11 –  x )²

Eliminamos el radical al cuadrado; recordemos que  (a – b)= a– 2ab + b:

x – 5 = 121 –  22x + x2

Obtenemos una ecuación de segundo grado (cuadrática):

x– 23x + 126 = 0

Al resolverla, hallamos dos posibles soluciones:

x = [ – b ± √(b– 4ac) ] / 2a

Con a = 1, b = -23, c = 126:

 x = { 23 ± √[ ( – 23)– 4(1)(126) ] } / 2a

x= [ 23 + √ ( 529 – 504 ) ]  / 2 =  ( 23 + √25 ) / 2 = ( 23 + 5 ) / 2 = 28 / 2 = 14

x= [ 23 – √ ( 529 – 504 ) ]  / 2 =  ( 23 – √25 ) / 2 = ( 23 – 5 ) / 2 = 18 / 2 = 9

Al sustituir x= 14 en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o no, comprobamos que √ [ 2 + √ (14 – 5 ) ] ≠ √ (13 – 14), no se cumple. Por tanto:

x= 14 es una raíz extraña

Ahora, al sustituir x= 9 en la ecuación original para evaluar si es una raíz extraña o no, comprobamos que √ [ 2 + √ (9 – 5 ) ] = √ (9 – 14), es correcta. Por tanto:

Solución: x = 31