Combinación lineal

combinacion linealUna combinación lineal es una serie de métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos o más incógnitas.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Método de eliminación o de suma y resta

Para llevar a cabo este tipo de combinación lineal debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Elegir una incógnita a eliminar.
  2. Hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de los cocientes que acompañen a la incógnita. Teniendo este valor buscaremos la forma de que estos cocientes se conviertan en el valor del mcm, uno positivo y el otro negativo.
  3. Se suman las ecuaciones de manera vertical y se elimina una incógnita.
  4. Se despeja la segunda incógnita. Se obtiene su valor.
  5. Se sustituye el valor de la segunda incógnita en cualquiera de las ecuaciones, para obtener el valor de la primera incógnita eliminada. Y así finalmente se obtienen los valores solución al sistema de ecuaciones.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

5x + 6y = 20      (1)

3x + 8y = 34        (2)

Paso 1: escogeremos eliminar a las x.

Paso 2: El mcm de 5 y 3 es 15, pues es el producto de ellos.

Para convertir coeficientes de las x de la ecuación (1) y (2)  en el valor mcm, debemos multiplicar por 3 la ecuación (1) y por – 5 la ecuación (2), para que ésta sea el valor negativo:

(5x + 6y = 20) × 3      →      15x + 18y = 60                (3)

(3x + 8y = 34) × (- 5)      →   -15x – 40y = – 170       (4)

Paso 3: Sumamos las ecuaciones (3) y (4)

0x – 22y = – 110

– 22y = – 110

Paso 4: Despejamos y:

y = 110 / 22

y = 5

Paso 5: Sustituimos el valor anterior en la ecuación (1) y despejamos x:

5x + 6(5) = 20

5x + 30 = 20

5x = 20 – 30

x = – 10 / 5

x = – 2

Con este método logramos encontrar los valores solución a cualquiera de las ecuaciones. Si sustituimos x = – 2 e y = 5 en cualquiera de las ecuaciones, comprobamos que son solución al sistema de ecuaciones.

Método de igualación

Para llevar a cabo este tipo de combinación lineal debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Despejar de las ecuaciones la misma incógnita.
  2. Igualamos la incógnita despejada en cada ecuación.
  3. Se despeja de la igualdad la segunda incógnita.
  4. Se sustituye el valor de la segunda incógnita en alguna de las ecuaciones despejadas en el paso 2 y con esto obtener los valores solución al sistema de ecuaciones.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x + 2y = 3              (A)

– x + 5y = 16           (B)

Paso 1: despejemos “y” en ambas ecuaciones:

3x + 2y = 3         →        y = (3 – 3x) / 2     (C)

-x + 5y = 16        →        y = (16 + x) / 5       (D)

Paso 2: igualamos (C) y (D):

(3 – 3x ) / 2 =(16 + x) / 5

Paso 3: despejamos x:

5(3 – 3x) = 2(16 + x)

15 – 15x = 32 + 2x

– 15x – 2x = 32 – 15

– 17x = 17

x = – 17 / 17

x = – 1

Paso 4: sustituimos el valor de x en la ecuación (B):

y = [16 + (-1)] / 5

y = 15 / 5

y = 3

Con este método logramos encontrar los valores solución a cualquiera de las ecuaciones. Si sustituimos x = – 1 e y = 3 en cualquiera de las ecuaciones, comprobamos que son solución al sistema de ecuaciones.

Método de sustitución

Para llevar a cabo este tipo de combinación lineal debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Se elige una incógnita a despejar de una de las ecuaciones.
  2. Se sustituye en la otra ecuación.
  3. Se despeja la segunda incógnita y se obtiene su valor.
  4. Por último, se sustituye el valor de la segunda incógnita en alguna de las ecuaciones principales, con esto se obtiene el valor de la primera incógnita y así obtener la solución al sistema de ecuaciones.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + 3y = 12       (α)

x – y = 1              (β)

Paso 1: despejaremos “x” de la ecuación (β):

x = 1 + y

Paso 2: sustituimos x en (α):

2(1 + y) + 3y = 12

Paso 3: despejamos y:

2 + 2y + 3y = 12

5y = 12 – 2

y = 10 / 5

y = 2

Paso 4: Sustituimos y = 2 en la ecuación  (β):

x – (2) = 1

x = 1 + 2

x = 3

Con este método logramos encontrar los valores solución a cualquiera de las ecuaciones. Si sustituimos x = 3 e y = 2 en cualquiera de las ecuaciones, comprobamos que son solución al sistema de ecuaciones.