Simplificando una expresión radical con exponentes

Al hablar de simplificación de expresiones radicales necesariamente debemos recordar los números radicales. De esta manera, cuando un número no es entero o fraccionado lo llamaremos radical, por ejemplo, √2; √3; ∛7. Estos radicales son diferentes según su grado, definido por el índice de la raíz, es decir que en ∛7 el radical es de tercer grado y en √2 el radical es de segundo grado. Igualmente, existen los términos semejantes; estos poseen un radicando (número dentro de la raíz) igual, como lo vemos en √2 y 5√2. Por el contrario, √3 y 5√2 no son semejantes porque su radicando es diferente.

Para entender a fondo como se trabaja con los números radicales de manera aritmética y lograr la simplificación de expresiones con estos términos, realizaremos los siguientes ejercicios. Además, se darán a conocer las diferentes propiedades radical-exponentes, aplicando dichas propiedades.

Ejemplo 1: Simplifique la siguiente expresión ∜(√x³·16√x)

Para comenzar con la simplificación dentro de la raíz cuarta, aplicaremos la siguiente propiedad:

ⁿ√·ⁿ√b = ⁿ√(a·b)                 (1)

Aplicando la propiedad a la expresión podemos reescribirla de la siguiente forma:

∜[16·√(x³·x)]

Recordando la propiedad de potencia a^n·a^m = a^(n+m):

∜(16·√x⁴)

Teniendo esta nueva expresión, aplicaremos la propiedad radical-exponente siguiente:

ⁿ√a^m = a^m/n            (2)

Al aplicarla, obtendremos:

∜(16·x²)

Si descomponemos el número 16, podremos escribirlo como:

16 = 2·2·2·2 = 2⁴

Entonces,

∜(2⁴·x²)

Volviendo aplicar la propiedad (1) de forma contraria es decir ⁿ√(a·b) = ⁿ√·ⁿ√ obtenemos:

∜(2⁴)·∜(x²)

Aplicando propiedad (2) a la expresión:

2·x^1/2

Si se aplica la propiedad (2) de manera contraria es decir a^m/n = ⁿ√a^m  reescribimos la expresión:

2·√x

La expresión inicial del ejercicio se puede simplificar hasta 2√x es decir:

∜(√x³·16√x) = 2√2

Ejemplo 2: Simplificar la siguiente expresión ⁵√(32x⁵y^-10z^-35)

Primero descompondremos el número 32:

32 = 2·2·2·2·2 = 2⁵

Reescribimos la expresión:

⁵√(2⁵x⁵y^-10z^-35)

Podemos observar que todos los exponentes dentro de la raíz son números divisibles por 5, eso nos permite aplicar la propiedad (1):

²√2⁵· ⁵√x⁵·⁵√y^-10·⁵√z^-35

Aplicando la propiedad (2) la expresión se simplifica de la siguiente manera:

2·x·y^-2·z^-7

Recordando la propiedad  de potencia a^-n = 1/aⁿ:

2·x·1/y²·1/z⁷

También podría escribirse como:

(2x)/(y²z⁷ )

Entonces, la simplificación de la expresión inicial del ejercicio es la siguiente:

⁵√(32x⁵y^-10z^-35) = (2x)/(y²z⁷ )