Factorizando polinomios de tercer grado
En la conceptualización de las expresiones algebraicas, observamos que los polinomios son las funciones que poseen tres o más términos sumados. Estos pueden ser representados de forma gráfica y algebraica. Los polinomios de tercer grado, son conocidos también como ecuación cúbica o ecuaciones de tercer grado. Su expresión general tiene la forma:
ax³ + bx² + cx + d = 0
Donde a, b, c y d son números enteros, x la variable incógnita de la ecuación. Encontrando su valor, hallaremos las soluciones posibles a dicha ecuación o las raíces del polinomio. Recordemos que la factorización consiste en transformar una expresión algebraica, a una expresión de multiplicación de términos.
A continuación resolveremos polinomios de tercer grado, por el método de factorización.
Ejemplo 1: Hallar el conjunto de soluciones de la siguiente ecuación cúbica x³ – 8x² + x – 8 = 0.
Para resolverlo usaremos la factorización:
x²(x – 8) + (x – 8) = 0
Obtenemos el factor común (x – 8) :
(x – 8)(x² + 1) = 0
Observemos la expresión, para que pueda cumplirse tal igualdad, (x – 8 = 0) o (x² + 1 = 0). Veamos cada una por separado:
x – 8 = 0
x = 8
Entonces uno de los valores solución a esta ecuación es x = 8. Veamos la siguiente expresión:
x² + 1 = 0
x² = – 1
Recordemos que la raíz de un número negativo es un número imaginario (√-1 = i).
x = ± √-1
Tenemos dos soluciones:
x1 = i
x2 = -i
Entonces las raíces solución a esta ecuación son:
{8, -i, i}
{8} Solución en los números reales, {i, -i} para los números imaginarios.
Comprobaremos la solución para los números reales: Sustituimos x = 8 en la expresión inicial del ejercicio x³ – 8x² + x – 8 = 0:
(8)³ – 8(8)² + 8 – 8 = 0
Recordemos la propiedad de potencia na×nb=n(a+b).
(8)³ – (8)³ + 0 = 0
0 + 0 = 0
0 = 0
Esta igualdad es cierta, por lo tanto x = 8 es solución a la ecuación de tercer grado en los números reales. Representación gráfica del polinomio:
Ejemplo 2: Hallar las soluciones de la siguiente ecuación cúbica x³ – 8 = 0.
Para hallar las raíces de este polinomio debemos recordar cómo resolver el producto notable de la diferencias de términos al cubo:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Podemos reescribir la ecuación:
x³ – 8 = 0
x³ – 2³ = 0
(x – 2)(x² + 2x + 4) = 0
Para que se cumpla esta igualdad, (x – 2 = 0) o (x² + 2x + 4 = 0); veamos las ecuaciones por separado, primero:
x – 2 = 0
x = 2
Una solución a esta ecuación cúbica es x = 2.
Segunda ecuación:
x² + 2x + 4 = 0
Como no podemos factorizarla, usaremos la resolvente x = [- b ± √(b² – 4ac)] / 2a. Donde a = 1, b = 2 y c = 4 sustituimos estos valores en la resolvente y tenemos:
x = [- 2 ± √(2² – 4·1·4)] / (2·1)
x = [- 2 ± √(-12)] / 2
x = [- 2 ± i √(3·4)] / 2
x = (- 2 ± i 2√3) / 2
x = – 1 ± i √3
Entonces las raíces solución a esta ecuación son:
{2 ; -1 + i √3; -1 – i √3}
{2} es la solución en los números reales y {-1 + i √3; -1 – i √3} para los números imaginarios.
Comprobaremos la solución para los números reales:
Sustituimos x = 2 en la expresión inicial del ejercicio x³ – 8 = 0:
(2)³ – 8 = 0
8 – 8 = 0
0 = 0
Esta igualdad es cierta por lo tanto x = 2 es solución a la ecuación de tercer grado en los números reales. El polinomio de manera gráfica: