Decaimiento exponencial
En las diferentes áreas del conocimiento práctico, como son la biología, la economía, la química, la física y las ciencias sociales, encontramos ejemplos de decaimiento exponencial. Donde existe la disminución de algún objeto en estudio, que no es lineal y tiene un comportamiento totalmente exponencial, en forma general se representa con la siguiente función:
y(x) = kax
Donde k es un número real y a es positiva pero diferente de uno. Cuando a < 1 o x < 0, la curva es estrictamente decreciente.
Definición
El decaimiento exponencial es la disminución de una cantidad a una velocidad proporcional a su propio valor. Si una cantidad N disminuye a una velocidad proporcional a la cantidad presente en el tiempo t, ésta puede ser escrita como:
N(t) = N0 e-kt
Donde N0 es el valor de N en t = 0 y k es una constante denominada función de decaimiento exponencial. La expresión anterior nos dice que el valor de N disminuye a medida que t aumenta.
Fórmula del decaimiento exponencial
Sabemos que matemáticamente:
Velocidad de cambio N(t) = – (constante)·N(t)
o
dN / dt = – kN
dN(t) / N(t) = – k dt
Integrando la expresión anterior:
ln N(t) = – k·t + C (1)
Donde C es la constante de integración.
La expresión (1) también puede ser escrita como:
N(t) = e-kt eC
Considerando que t = 0, N(0) = N0, entonces:
N(t) = N0 e-kt
Donde N0 es el valor inicial de la cantidad N.
En consecuencia, la fórmula para el decaimiento exponencial puede ser escrita como:
N(t) = N0 e-kt
El análisis lógico de los problemas con forma de decaimiento exponencial, se basa en el producto de la cantidad inicial del objeto en estudio, por su tasa de perdida elevada a una potencia.
Ejemplo: Se tiene una sustancia radioactiva que decae, a una tasa de 3,5 % por hora. ¿Qué porcentaje de la sustancia queda después de 6 horas?
Primero analicemos lo que nos dice el problema.
- Cuando la sustancia aún no ha decaído, es decir, no ha transcurrido tiempo, tenemos el 100 %:
Cuanto t = 0 → Tenemos 100% sustancia → N0 = 100 % de la sustancia
- ¿Qué pasa luego de una hora? Sabemos que la sustancia decae a 3,5 % por hora, se ha “perdido” 3,5 % , es decir:
100 % – 3,5 % = 96,5 %
Por lo tanto,
Cuanto t = 1 → Tenemos 96,5 % de sustancia → N = 96,5 %.
Ahora, para poder aplicar la fórmula de decaimiento exponencial, debemos conocer el valor de k. Por lo tanto, la escribimos en forma logarítmica:
ln N(t) = ln (N0 e-kt)
ln [N(t) / N0) = – kt
Despejando k:
k = – ln [N(t) / N0) / t
Considerando que N = 96,5 %; N0 = 100 % y t = 1:
k = 0, 0356 por hora.
Es decir, el decaimiento es de 0,356 por hora.
Ahora, podemos encontrar la cantidad de sustancia que tenemos después de seis horas:
N(t) = N0 e-kt
N (t) = 100 e– (0,356)(7) = 80,7 %
Otra forma de resolver el problema:
Cuando la sustancia esta «nueva», es decir, no ha transcurrido tiempo, la sustancia se encuentra al 100 %. Luego de una hora nos dice que ha perdido 3,5 % de lo que tenía al inicio, es decir, ahora tiene:
100 % – 3,5 % = 96,5 %
O también podríamos decir:
96,5 % = (0,965)·(100)
En la segunda hora volveremos a perder 0,965, pero de lo que teníamos la primera hora (0,965) · (100); entonces en la segunda hora tendremos:
(0,965) · (0,965) · (100) = 93,1 %
En la tercera hora volveremos a perder 0,965 de lo que teníamos de sustancia a las dos horas (0,965) · (0,965) · (100), es decir, tendremos:
(0,965) · (0965) · (0,965) · (100) = 89,8 %
Podemos observar que cada hora que pasa se pierde 0,965 de la sustancia que queda de la hora anterior. De esta manera, podríamos expresar una forma general del decaimiento de la sustancia en estudio. A la sustancia la llamaremos S y esta cambia en función del tiempo (t):
S(t) = 100 · (0,965)t
Teniendo la expresión general para este problema, podremos saber cuánta sustancia habrá en cualquier momento. Como el problema nos pregunta qué porcentaje habrá luego de 6 horas, sustituiremos t = 6:
S(6) = 100· (0,965)6
S(6) = 80,7 %
Entonces, luego de 6 horas nos queda 80,7 % de la sustancia inicial.
