Secciones cónicas

Consideremos un cono circular recto con dos hojas y hagamos pasar planos por él, a distintos ángulos, como se muestra en la figura. Las curvas que se obtendrán como secciones se les llaman, respectivamente, elipses, parábolas, hipérbolas; también podemos obtener varias formas límites como un círculo. Estas curvas se les denominan secciones cónicas.

Tipos de Secciones Cónicas

En el plano, sea d una línea fija (denominada directriz) y F un punto fijo (llamado foco); una cónica es el conjunto de puntos P para los que el cociente de la distancia |PF| del foco entre la distancia  |PD| a la recta es una constante positiva denominada excentricidad “e”, en otras palabras, los puntos que satisfacen |PF| = e|PD| es una cónica. Ahora,

• Si  e = 1, la cónica se le denomina parábola.
• Si  0 < e < 1, la cónica se le denomina elipse.
• Si  e > 1, la cónica se le denomina hipérbola.

Ecuaciones de las secciones cónicas

• Parábola: y = (4px)²
• Círculo: x² + y² + 2fx + 2gy + c = 0
• Elipse: x² / a²  + y² / b²  = 1
• Hipérbola: x² / a²  – y² / b²  = 1

En general, la ecuación de una sección cónica es

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

El valor B² – 4AC puede ser utilizado para determinar el tipo de sección cónica que se formará con la ecuación dada:

• Si  B² – 4AC < 0, entonces la ecuación representará un círculo, una elipse, un punto o no una curva.
• Si B² – 4AC > 0 , entonces la ecuación representará una hipérbola o dos líneas que se interceptan.
• Si  B² – 4AC = 0, entonces la ecuación representará una línea, dos líneas paralelas, una parábola o ninguna curva.