Secciones cónicas

Consideremos un cono circular recto con dos hojas y hagamos pasar planos por él, a distintos ángulos, como se muestra en la figura. Las curvas que se obtendrán como secciones se les llaman, respectivamente, elipses, parábolas, hipérbolas; también podemos obtener varias formas límites como un círculo. Estas curvas se les denominan secciones cónicas.

secciones cónicas

Tipos de Secciones Cónicas

secciones cónicasEn el plano, sea d una línea fija (denominada directriz) y F un punto fijo (llamado foco); una cónica es el conjunto de puntos P para los que el cociente de la distancia |PF| del foco entre la distancia  |PD| a la recta es una constante positiva denominada excentricidad “e”, en otras palabras, los puntos que satisfacen |PF| = e|PD| es una cónica. Ahora,

  • Si  e = 1, la cónica se le denomina parábola.
  • Si  0 < e < 1, la cónica se le denomina elipse.
  • Si  e > 1, la cónica se le denomina hipérbola.

Ecuaciones de las secciones cónicas

  • Parábola: y = (4px)2
  • Círculo: x2 + y2 + 2fx + 2gy + c = 0
  • Elipse: x2 / a2  + y2 / b2  = 1
  • Hipérbola: x2 / a2  – y2 / b2  = 1

En general, la ecuación de una sección cónica es

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

El valor B2 – 4AC puede ser utilizado para determinar el tipo de sección cónica que se formará con la ecuación dada:

  • Si  B2 – 4AC < 0, entonces la ecuación representará un círculo, una elipse, un punto o no una curva.
  • Si B2 – 4AC > 0 , entonces la ecuación representará una hipérbola o dos líneas que se interceptan.
  • Si  B2 – 4AC = 0, entonces la ecuación representará una línea, dos líneas paralelas, una parábola o ninguna curva.