Parábola

La parábola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco y una recta llamada directriz.

ParábolaEl eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz (d), que pasa por el foco F. La distancia Fd, del foco a la directriz, se denomina parámetro de la parábola (p), el punto medio del segmento Fd es el punto V, que se denomina vértice de la parábola.

Ecuación de la parábola

La ecuación y2 = 4px se le llama la ecuación canónica de una parábola horizontal (con el eje horizontal), que abre hacia la derecha. Observemos que p > 0 y que p es la distancia del foco al vértice.

Hay tres variantes de la ecuación canónica. Si intercambiamos los papeles de x e y, obtenemos la ecuación x2 = 4py. Ésta es la ecuación de una parábola vertical con foco en (0,p) y directriz y = -p. Si introducimos un signo menos en un lado de la ecuación, la parábola se abrirá en la dirección opuesta. Los cuatro casos se muestran en la siguiente figura:

Parábolas

Ejemplo 1: Determine el foco, el eje y la directriz de la parábola: x2 = 8y.

  • Observando la ecuación dada, tenemos x2, que significa que el eje de simetría es a lo largo del eje x.
  • El coeficiente de x es positivo (x > 0), por lo que la parábola es horizontal y abre hacia arriba.
  • Como x2 = 4(2)y, observamos que p = 2.
  • El foco está en (3,0).
  • La directriz es la recta x = 3.

Ejemplo 2: Determine la ecuación de la parábola con foco (4,0) y directriz x = -4.

Sabemos que el foco yace sobre el eje x, por lo que éste será el eje de la parábola. Como la directriz es x = -4 y el foco es (4,0), la parábola tendrá la forma y2 = 4px con p = 4. Por lo tanto:

y2 = 4(4)x

y2 = 16x