Elipse

Elipse

La elipse es una curva cerrada y plana con dos ejes de simetría, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r + r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo esta última la longitud de la distancia entre los punto AB de la elipse.

Asimismo, puede ser definida como una sección cónica formada por la intersección de la superficie del cono con un plano oblicuo al eje de simetría, (no corta su base).

Ecuación de una elipse

La ecuación x2 / a2 + y2 / b2 = 1 se le llama la ecuación canónica de una elipse.

Elipse

Elementos de una elipse

  • Focos: son los puntos fijos F y F’.
  • Eje focal: distancia entre los focos |FF’|.
  • Punto medio: centro de la elipse.
  • Vértices V, V’: son  los puntos donde la recta que pasa por los focos intercepta la elipse.
  • Eje mayor: distancia entre los vértices.
  • La recta que pasa por el centro de la elipse y es perpendicular a la recta que pasa por el foco, corta la elipse en dos puntos cuya distancia es lo que llamamos eje menor.
  • Semi eje mayor = a
  • Semi eje menor = b                     Los tres semiejes satisfacen   a2 = b2 + c2
  • Semi eje focal = c
  • Diámetro mayor = 2a
  • Diámetro menor = 2b
  • Excentricidad e: determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento.

Excentricidad de una elipse

Como se ha mencionado anteriormente, la excentricidad (se expresa con la letra e) determina la forma de la elipse; ésta se calcula como el cociente:

ecuación excentricidad elipse

Donde a es el semi eje mayor y c el semi eje focal (la distancia del centro a uno de los focos de la elipse).

Ahora, de la ecuación de la excentricidad observamos que 0 < c < a, es decir, el semi eje mayor  a es mayor que el semi eje focal c, por lo tanto:

0 < c / a < 1

0 < e < 1

Lo que demuestra que la excentricidad varía siempre entre cero y uno.

  • Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos coinciden en el centro .
  • Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

excentricidad elipse

Ejemplo 1: Determine los focos y vértices de la elipse: y2 / 1 + x2 / 4 = 1

De la ecuación sabemos:

  • a=2
  • b=1

Ahora, como a2 = b2 + c2 entonces:

c2 = a2 – b2

c = √(4 – 1)

c = √3

Por lo tanto:

Focos: F(√3,0)  y F’ ( – √3,0) y  Vértices: F(2,0)  y F’ ( -2,0).

Área de una elipse

El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).

A= π∙a∙b

Ejemplo 2: Sea una elipse de semiejes conocidos, donde a = 6 cm y el menor b = 4 cm, calcule su área.

Del enunciado del problema sabemos que a = 6 cm y b = 4 cm. Como A= π∙a∙b, entonces su área es:

A= π∙a∙b

A= π∙(6 cm ∙ 4 cm) =

A= 75,39 cm²

Por lo tanto, el área de la elipse es igual a 75,39 cm².

Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro requiere de lo que se denomina en matemática integrales elípticas de segunda especie. No obstante, el matemático indio Ramanujan expuso una expresión mucho más sencilla que estas integrales que aproximan los resultados hasta valores bastante exactos.

Perímetro ≈ π∙{3(a + b) – √[(3∙a + b)∙(a + 3∙b)]}

Donde a es el semi eje mayor y b el semi eje menor.

Otros artículos que te puedan interesar: Secciones cónicas