Resta de fracciones

Para restar dos o más fracciones debemos seguir un procedimiento similar al de la adición; primero nos aseguramos que todas tengan el mismo denominador y en caso que no sea así,  hay que encontrar fracciones equivalentes que compartan un denominador en común. Luego, restamos sus numeradores.

En general, existen dos tipos de resta de fracciones:

• Sustracción de fracciones con el mismo denominador: se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
• Sustracción de fracciones con distinto denominador: en primer lugar se reducen los denominadores a un común denominador y se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Reglas generales para restar fracciones

Si las fracciones tienen igual denominador

1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2. Se restan los numeradores de las fracciones y se mantiene el denominador común.
3. Se simplifica la fracción resultante, si es posible.

Ejemplo: restar las siguientes fracciones: 3/4; 7/4

Ambas fracciones tienen igual denominador, por lo tanto, restamos los numeradores y mantenemos el denominador común:

3/4 – 7/4 = – 4/4

Simplificamos la fracción:

– 4/4 = – 1/1 = – 1

Si las fracciones tienen distinto denominador

1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2. Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador.
3. Se restan los numeradores de las fracciones que resulten y se mantiene el denominador obtenido en el paso 2.
4. Se simplifica la fracción resultante, si es posible.

Ejemplo: restar las siguientes fracciones: 1/6; 2/3

Ambas fracciones tienen distinto denominador, debemos reducirlas al mínimo común denominador. Para ello, hallamos el mcm de los denominadores: mcm (6 ; 3) = 6. Dividimos el mcm entre los denominadores de las fracciones: 6 ÷ 6 = 1 y 6 ÷ 3 = 2

Los cocientes obtenidos los multiplicamos por los numeradores respectivos, es decir:

1/6 – 2/3 = 1(1) /6 – 2(2) / 6 = 1/6 – 4/6

Restamos los numeradores

1/6 – 4/6 = – 3/6

Simplificando

– 3/6 = – 1/2

Si las fracciones son mixtas

1. Se convierten las fracciones mixtas a fracciones impropias.
2. Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
3. Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador, si tienen distinto denominador.
4. Se restan los numeradores de las fracciones que resulten y se mantiene el denominador obtenido en el paso 3.
5. Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo: Restar las siguientes fracciones: 1 2/5; 4 3/5

Convertimos las fracciones a fracciones impropias:

1 2/5 = (1 × 5 + 2) / 5 = 7/5

4 3/5 = (4 × 5 + 3) / 5 = 23/5

 Ambas fracciones tienen igual denominador, por lo tanto, restamos los numeradores y mantenemos el denominador común:

7/5 – 23/5 = – 16/5

Ejercicios

Realizar las siguientes operaciones:

1. [(a + 5b) / a²] – [(b – 3) / ab]

Veamos que las fracciones tienen diferente denominador (y son monomios), por lo tanto, debemos reducirlas al mínimo común denominador.  El mcm de los denominadores es: mcm (a²; ab) = a²b. Dividimos a²b entre cada denominador y multiplicamos los cocientes por el numerador respectivo, así:

[(a + 5b) / a²] – [(b – 3) / ab] = [b(a + 5b) / a²b] – [a(b – 3) / a²b] =

= [(ab + 5b²) / a²b] – [(ab – 3a) / a²b]

Restamos los numeradores

[(ab + 5b²) / a²b] – [(ab – 3a) / a²b] = = [(ab + 5b² – ab + 3a) / a²b] =

= (5b² + 3a) / a²b

2. [1/(x-4)] – [1/(x-3)]

Veamos que las fracciones tienen diferentes denominadores ( y son compuestos), por lo tanto, debemos reducirlas al mínimo común denominador.  El mcm de los denominadores es: mcm = (x – 4)(x – 3). Dividimos (x – 4)(x – 3) entre cada denominador y multiplicando los cocientes por el numerador respectivo, tenemos:

[1/(x-4)] – [1/(x-3)] = {(x – 3) / [ (x – 4)(x – 3)]} – {(x – 4) / [(x – 4)(x – 3)]} =

= (x – 3 – x + 4) / [(x – 4)(x – 3)] = 1 / [(x – 4)(x – 3)]

3. (1 4/5) – (2 3/4)

Convertimos las fracciones a fracciones impropias:

1 4/5 = (1 × 5 + 4) / 5 = 9/5

2 3/4 = (2 × 4 + 3) / 4 = 11/4

Veamos que las fracciones tienen diferente denominador, por lo tanto, debemos reducirlas al mínimo común denominador.  El mcm de los denominadores es: mcm = 20. Dividimos 20 entre cada denominador y multiplicando los cocientes por el numerador respectivo, tenemos:

9/5 – 11/4 = [4(9)/20] – [5(11)/20] = (36/20) – (55/20) = – 19/20