Resolviendo ecuaciones cuadráticas

Generalmente, para encontrar la solución de una ecuación cuadrática ax+ bx + c = 0 utilizamos la fórmula cuadrática, sin embargo, existe otra forma para resolverla: el método de factorización.

Resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de la factorización

Existen dos formas:

  1. Sacamos factor común de x y luego buscamos los dos valores de ésta. Ésta se utiliza cuando c = 0.
  1. Convertimos la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, buscamos el valor de x de cada uno de ellos. Para ello,debemos encontrar dos números cuyo producto sea igual a “c” y cuya suma sea igual a b. A éste método se le denomina factorización simple.

Ejemplos

1. Resolver la siguiente ecuación cuadrática x² + 3x = 0

Veamos que c = 0, por lo tanto, sacamos factor común de x:

x(x + 3) = 0

Para que esto sea cierto, “x = 0” y “x + 3 = 0”. Por lo tanto, nuestra primera raíz de la ecuación es:

x1 = 0

Ahora,

x + 3 = 0

despejando x:

x = – 3

Por lo tanto:

x2 = – 3

En consecuencia, las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = – 3;  si sustituimos una de ellas en la ecuación original comprobamos que es solución:

Para x = 0:

x² + 3x = 0

(0)² + 3(0) = 0

0 = 0

Para x = – 3:

(-3)² + 3(-3) = 0

9 – 9 = 0

0 = 0

2. Resolver la siguiente ecuación cuadrática 6x² + 4x = 0

Veamos que c = 0, por lo tanto, sacamos factor común de x:

2x(3x + 2) = 0

Para que esto sea cierto, “2x = 0” y “3x + 2 = 0”. Por lo tanto, nuestra primera raíz de la ecuación es:

2x1 = 0

x1 = 0 / 2

x1 = 0

Ahora,

3x + 2 = 0

despejando x:

3x = – 2

x = – 2/3

Por lo tanto:

x2 = – 2/3

En consecuencia, las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = – 2/3;  si sustituimos una de ellas en la ecuación original comprobamos que es solución:

Para x = 0:

6x² + 4x = 0

6(0)² + 4(0) = 0

0 = 0

Para x = – 2/3:

6(- 2/3)² + 4(- 2/3) = 0

6(4/9) – 8/3 = 0

8/3 – 8/3 = 0

0 = 0

3. Resolver la siguiente ecuación cuadrática x² + x – 6 = 0

Convertimos la ecuación cuadrática en un producto de binomios:

(x + α)(x + β) = 0

Debemos buscar dos números α y β que al multiplicarlos den el valor de c y que al sumarlos sean igual a b. En este caso, dos números cuyo producto sea – 6 y cuya suma sea 1:

 (x + 3)(x – 2) = 0

Ya que 3·(-2) = -6 y 3 + (-2) = 1

Ahora, para que lo anterior sea cierto, “(x + 3) = 0” y “(x – 2)”  = 0. Por lo tanto, nuestra primera raíz de la ecuación es:

x + 3 = 0

x  = 0 – 3

x1 = – 3

Ahora,

x – 2 = 0

x = 0 + 2

x2 = 2

En consecuencia, las raíces de la ecuación son x1 = – 3 y x2 = 2;  si sustituimos cada una de ellas (por separado) en la ecuación original, comprobaremos que son solución.

4. Resolver la siguiente ecuación cuadrática x² + 6 = 7x

Ordenamos la ecuación:

x² – 7x + 6 = 0

Convertimos la ecuación cuadrática en un producto de binomios:

(x + α)(x + β) = 0

Debemos buscar dos números α y β cuyo producto sea 6 y su suma sea – 7:

 (x – 6)(x – 7) = 0

Ya que (- 6)·(-1) = 6  y (- 6) + (- 1) = – 7

Ahora, para que lo anterior sea cierto, “(x – 6) = 0” y “(x – 7)”  = 0. Por lo tanto, nuestra primera raíz de la ecuación es:

x – 6 = 0

x  = 0 + 6

x1 = 6

Ahora,

x – 7 = 0

x = 0 + 7

x2 = 7

En consecuencia, las raíces de la ecuación son x1 = 6 y x2 = 7;  si sustituimos cada una de ellas (por separado) en la ecuación original, comprobaremos que son solución.