Reglas de las desigualdades

En matemática, una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.

Reglas para resolver desigualdades




  • Primer regla: Ley de Tricotomía: Para dos número reales arbitrarios a y b,  una y sólo una de está relaciones a – b > 0 o a – b < 0 se cumple.

Comprobación: Debemos tener presente que una propiedad muy importante de los números reales es que tienen una orden; el orden de los números reales permite comparar dos números y decidir cuál de ellos es mayor o si ambos son iguales. Ahora, para dos números reales a y b,  considere la cantidad a – b. Por la propiedad de los números reales, tenemos que:

a – b > 0 o a – b < 0

Esto es

a > b o a < b

Segunda regla: Si a<b y c es un número cualquiera, entonces a + c < b + c y a – c < b – c. Esto es, si sumamos o restamos ambos miembros de la desigualdad por la misma cantidad, el sentido de la misma no cambia.

Comprobación: Sea a < b, por lo tanto b – a > 0. Entonces:

(b + c) – (a + c) = b + c – a – c = b – a > 0

Esto es

a + c < b + c

Análogamente

        (b – c) – (a – c) = b – c – a + c = b – a > 0

Esto es

a – c < b – c

Tercera regla: Si a < b y c > 0, entonces a∙c < b∙c y a ÷ c < b ÷ c. Esto es, si multiplicamos o dividimos ambos miembros de la desigualdad por la misma cantidad, el sentido de la misma no cambia.

Comprobación: Sea a < b, por lo tanto b – a > 0. Como y c > 0, tenemos:

(b – a)∙c > 0      →      b∙c – a∙c > 0      →      →      b∙c > a∙c

Análogamente, como y c > 0, tenemos que 1⁄c > 0, por lo tanto:

(b – a)∙(1/c) > 0      →       b/c – a/c > 0      →      →       b/c > a/c

Cuarta regla: Si a < b y c < 0, entonces -(a∙c) > -(b∙c) y -(a÷c) > -(b÷c). Esto es, si multiplicamos o dividimos ambos miembros de la desigualdad por la misma cantidad negativa, el sentido de la misma cambia.

Comprobación: Sea a < b, por lo tanto b – a > 0. Como c < 0, entonces, -c > 0 y en consecuencia:

(b – a)∙(-c) > 0      →    -(b∙c) + a∙c > 0      →      →    (a∙c) < (b∙c)

Análogamente  Como c < 0, entonces, -c > 0 y -(1⁄c) > 0, por lo tanto:

(b – a)∙(-1/c) > 0      →     -b/c + a/c > 0      →      →       a/c < b/c

Las reglas anteriores pueden ser utilizadas para obtener más reglas.

Reglas para graficar desigualdades

  1. Construir una tabla de las ecuaciones de las desigualdades.
  2. Representar las soluciones en el plano de coordenadas.
  3. Dibujar una recta que pase a través de cada punto. Si la desigualdad es < o >, la recta es una línea discontinua. Si la desigualdad es ≤ o ≥, la recta es una línea continua.
  4. Tomar un punto y sustituirlo en la desigualdad. Si se cumple, la solución es la región donde se encuentra en punto, si no la solución será la otra región.