En matemática, una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.
Reglas para resolver desigualdades
- Primer regla: Ley de Tricotomía: Para dos número reales arbitrarios a y b, una y sólo una de está relaciones a – b > 0 o a – b < 0 se cumple.
Comprobación: Debemos tener presente que una propiedad muy importante de los números reales es que tienen una orden; el orden de los números reales permite comparar dos números y decidir cuál de ellos es mayor o si ambos son iguales. Ahora, para dos números reales a y b, considere la cantidad a – b. Por la propiedad de los números reales, tenemos que:
a – b > 0 o a – b < 0
Esto es
a > b o a < b
Segunda regla: Si a<b y c es un número cualquiera, entonces a + c < b + c y a – c < b – c. Esto es, si sumamos o restamos ambos miembros de la desigualdad por la misma cantidad, el sentido de la misma no cambia.
Comprobación: Sea a < b, por lo tanto b – a > 0. Entonces:
(b + c) – (a + c) = b + c – a – c = b – a > 0
Esto es
a + c < b + c
Análogamente
(b – c) – (a – c) = b – c – a + c = b – a > 0
Esto es
a – c < b – c
Tercera regla: Si a < b y c > 0, entonces a∙c < b∙c y a ÷ c < b ÷ c. Esto es, si multiplicamos o dividimos ambos miembros de la desigualdad por la misma cantidad, el sentido de la misma no cambia.
Comprobación: Sea a < b, por lo tanto b – a > 0. Como y c > 0, tenemos:
(b – a)∙c > 0 → b∙c – a∙c > 0 → → b∙c > a∙c
Análogamente, como y c > 0, tenemos que 1⁄c > 0, por lo tanto:
(b – a)∙(1/c) > 0 → b/c – a/c > 0 → → b/c > a/c
Cuarta regla: Si a < b y c < 0, entonces -(a∙c) > -(b∙c) y -(a÷c) > -(b÷c). Esto es, si multiplicamos o dividimos ambos miembros de la desigualdad por la misma cantidad negativa, el sentido de la misma cambia.
Comprobación: Sea a < b, por lo tanto b – a > 0. Como c < 0, entonces, -c > 0 y en consecuencia:
(b – a)∙(-c) > 0 → -(b∙c) + a∙c > 0 → → (a∙c) < (b∙c)
Análogamente Como c < 0, entonces, -c > 0 y -(1⁄c) > 0, por lo tanto:
(b – a)∙(-1/c) > 0 → -b/c + a/c > 0 → → a/c < b/c
Las reglas anteriores pueden ser utilizadas para obtener más reglas.
Reglas para graficar desigualdades
- Construir una tabla de las ecuaciones de las desigualdades.
- Representar las soluciones en el plano de coordenadas.
- Dibujar una recta que pase a través de cada punto. Si la desigualdad es < o >, la recta es una línea discontinua. Si la desigualdad es ≤ o ≥, la recta es una línea continua.
- Tomar un punto y sustituirlo en la desigualdad. Si se cumple, la solución es la región donde se encuentra en punto, si no la solución será la otra región.
