Desigualdad geométrica

En matemática, una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Una desigualdad geométrica es una desigualdad que involucra diferentes medidas geométricas tales como ángulos, áreas, longitudes, entre otras. Existen diferentes tipos de desigualdades geométricas basadas en las distintas formas geométricas.

Desigualdad triangular

desigualdad triangularEn todo triangulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera  es siempre mayor a la longitud del tercer lado restante. Supongamos que a, b y c son las longitudes de los tres lados de un triángulo, por lo tanto:

  •   (a+b) > c
  •   (b+c) > a
  •   (a+c) > b

Ejemplo: En un triángulo sea a = 8 cm y b = 3 cm, determine la posible longitud del tercer lado c.

Sabemos que:

  • (a+b) > c     →   (8+3) > c    →      11 > c
  •  (b+c) > a     →   (3+c) > 8    →      c > 5
  •  (a+c) > b     →   (8+c) > 3    →      c > -5

Este último resultado (3) lo ignoramos porque las longitudes deben ser siempre positivas, por lo tanto:

3 < c < 11

El tercer lado es mayor a 3 cm o menor que 11 cm.

Desigualdad de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo con lados de longitud a ≤ b ≤ c, a2+b2 = c2.  La desigualdad de Pitágoras es una generalización del Teorema de Pitágoras, la cual se extiende a triángulos obtusos y agudos:

  • Triángulo agudo: En un triángulo agudo, el cuadrado del lado de mayor longitud es siempre menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Es decir, en un triángulo agudo con lados de longitud a ≤ b ≤c, a2+b2 > c2.
triangulo agudo
Triángulo agudo
  • Triángulo obtuso: En un triángulo obtuso, el cuadrado del lado de mayor longitud es siempre mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Es decir, en un triángulo obtuso con lados de longitud a ≤ b ≤ c, a2 + b2 < c2.
Triángulo obtuso
Triángulo obtuso

Desigualdad trigonométrica

Las desigualdades trigonométricas pueden ser escritas como:

  • [ f,g,h,… ] > 0
  • [ f,g,h,… ] < 0
  • [ f,g,h,… ] ≤ 0
  • [ f,g,h,… ] ≥ 0

Donde f,g, h, … denotan funciones trigonométricas.

Podemos resolver para la variable, es decir, los valores de x que hacen que se cumpla la desigualdad; estos valores serán las soluciones de la desigualdad dada. Por ejemplo:

2tanθ + tan 2θ > 3cot θ