Graficando desigualdades

Desigualdades lineales con una variable

  1. Resolver la desigualdad
  2. Representar las soluciones en la recta real.

Ejemplo: Resolver y graficar la desigualdad 1 ≤ x + 5 ≤ 3

Para eliminar el (+5) que acompaña a la x, sumamos (-5) a los tres miembros de las desigualdades, así:

1 ≤ x + 5 ≤ 3     →     1 + (-5) ≤ x + 5 + (-5) ≤ 3 + (-5)      →     -4 ≤ x ≤ -2

La última expresión indica que x tiene un valor comprendido entre -4 y -2, ambos incluidos, que anotamos como: x = [-4,-2]

Graficando desigualdades

 

Sistema de desigualdades lineales

  1. Transformar la desigualdad en una igualdad
  2. Graficar la recta. Para ello, damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos; al representar y unir estos dos puntos obtenemos una recta. Si la desigualdad es < o >, la recta es una línea discontinua. Si la desigualdad es ≤ o ≥, la recta es una línea continua.
  3. Tomar un punto y sustituirlo en la desigualdad. Si se cumple, la solución es la región donde se encuentra en punto, si no la solución será la otra región.

Ejemplo: Resolver y graficar  2x + y ≤ 1

  1. 2x + y = 1
  2. y = -2x + 1; para graficar damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos:

Cuando x = 0 ; y = -2(0) + 1 = 1

Cuando x = 1 ;  y = -2(1) + 1 = -1

Al representar y unir estos dos puntos (0,1) y (1,-1), obtenemos una recta

Graficando desigualdades2

  1. Tomemos el punto (0,0).

2x + y ≤ 1      →      2(0) + (0) ≤ 1       →      0 ≤ 1  Falso

Por lo tanto, los puntos del semiplano 1 forman parte de la solución.

Desigualdades lineales con una variable con valor absoluto

Se siguen los mismos pasos para graficar desigualdades lineales con una variable.

Ejemplo: graficar la desigualdad |2x – 2| > 2

|2x – 2| > 2     →    2 < 2x – 2 < -2     →     2 + (2) <2x – 2 + (2) < -2 + (2)

4 < 2x < 0     →     4/2 < 2x/2 < 0/2      →     2 < x < 0

La última expresión indica que x es mayor que 2, es decir x = (2,+∞), y que x es menor que 0, es decir x = (-∞,0). La respuesta es la unión de estos dos intervalos.

Graficando desigualdades3

 x = (-∞,0) ∪ (2,+∞)