Desigualdades lineales con una variable
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- Resolver la desigualdad
- Representar las soluciones en la recta real.
Ejemplo: Resolver y graficar la desigualdad 1 ≤ x + 5 ≤ 3
Para eliminar el (+5) que acompaña a la x, sumamos (-5) a los tres miembros de las desigualdades, así:
1 ≤ x + 5 ≤ 3 → 1 + (-5) ≤ x + 5 + (-5) ≤ 3 + (-5) → -4 ≤ x ≤ -2
La última expresión indica que x tiene un valor comprendido entre -4 y -2, ambos incluidos, que anotamos como: x = [-4,-2]
Sistema de desigualdades lineales
- Transformar la desigualdad en una igualdad
- Graficar la recta. Para ello, damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos; al representar y unir estos dos puntos obtenemos una recta. Si la desigualdad es < o >, la recta es una línea discontinua. Si la desigualdad es ≤ o ≥, la recta es una línea continua.
- Tomar un punto y sustituirlo en la desigualdad. Si se cumple, la solución es la región donde se encuentra en punto, si no la solución será la otra región.
Ejemplo: Resolver y graficar 2x + y ≤ 1
- 2x + y = 1
- y = -2x + 1; para graficar damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos:
Cuando x = 0 ; y = -2(0) + 1 = 1
Cuando x = 1 ; y = -2(1) + 1 = -1
Al representar y unir estos dos puntos (0,1) y (1,-1), obtenemos una recta
- Tomemos el punto (0,0).
2x + y ≤ 1 → 2(0) + (0) ≤ 1 → 0 ≤ 1 Falso
Por lo tanto, los puntos del semiplano 1 forman parte de la solución.
Desigualdades lineales con una variable con valor absoluto
Se siguen los mismos pasos para graficar desigualdades lineales con una variable.
Ejemplo: graficar la desigualdad |2x – 2| > 2
|2x – 2| > 2 → 2 < 2x – 2 < -2 → 2 + (2) <2x – 2 + (2) < -2 + (2)
4 < 2x < 0 → 4/2 < 2x/2 < 0/2 → 2 < x < 0
La última expresión indica que x es mayor que 2, es decir x = (2,+∞), y que x es menor que 0, es decir x = (-∞,0). La respuesta es la unión de estos dos intervalos.
x = (-∞,0) ∪ (2,+∞)