Raíces imaginarias de una ecuación cuadrática

Sabemos que la solución de una ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, en donde a, b y c, con a ≠ 0, es:

x₁ = [ – b + √(b² – 4ac) ] / 2a

x₂ = [ – b – √(b² – 4ac) ] / 2a

Además, sabemos que si el discriminante “b² – 4ac ≥ 0” la solución está formada por números reales. Pero cuando “b² – 4ac < 0”, no hay solución en números reales, sino dos soluciones que incluyen números imaginarios y que satisfacen la ecuación dada.

Ejemplo 1: Resolver la ecuación cuadrática 2x² – 2x + 5 = 0.

Los coeficientes son:

a = 2; b = – 2 y c = 5

Sustituimos los coeficientes en la fórmula cuadrática:

x= [ – b ± √ (b² – 4ac) ] / 2a

x= { – (- 2) ± √ [ (-2)² – 4(2)(5)] } / 2(2)

Resolvemos

x=  { 2 ± √ [ (-2)² – 4(2)(5)] } / 2(2)

x = [ 2 ± √ – 36 ] / 4

Recordando que i = √ -1, tenemos:

x = [ 2 ± ( √ 36 · √ -1)  ] / 4 = ( 2 ± 6i) / 4

x₁ = ( 2 + 6i) / 4

x₂ = ( 2 – 6i) / 4

Ejemplo 1: Resolver la ecuación cuadrática x² – 6x + 25 = 0.

Los coeficientes son:

a = 1; b = – 6 y c = 25

Sustituimos los coeficientes en la fórmula cuadrática:

x= [ – b ± √ (b² – 4ac) ] / 2a

x= { – (- 6) ± √ [ (-6)² – 4(1)(25)] } / 2(1)

Resolvemos

x = [ 6 ± √ – 64 ] / 2

Recordando que i = √ -1, tenemos:

x = [ 6 ± ( √ 64 · √ -1)  ] / 2 = ( 6 ± 8i) / 2

x₁ = ( 6 + 8i) / 2 =  3 + 4i

x₂ = ( 6 – 8i) / 2 = 3 – 4i