Funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones exponenciales y = a^x funciones logarítmicas log_ay = x se le denominan funciones transcendentales, ya que son funciones que transcienden el álgebra en el sentido que ninguna puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y/o extracción de raíces.

Las funciones exponenciales y logarítmicas con base son inversas una de otra. Por lo tanto, cuando en una expresión y = a^x nos dan “a” y “x” para calcular “y”, estamos en presencia de una función exponencial, pero cuando nos dan “a” e “y” para calcular x, estamos en presencia de una función logarítmica.

Funciones exponenciales

Toda función f: R → R₊^* tal que f(x) = a^x con a ≠ 1 y a > 0, se le denomina función exponencial.

Como a⁰= 1, la curva pasa por el punto (0,1).
Como a¹= a, la curva pasa por el punto (1,a).

El valor de y en la función f(x) = a^x para cualquier número del conjunto R siempre es un número positivo y nunca puede valer cero, ya que no hay ningún número x que sustituido en la expresión de la función de como resultado cero. Por ello la curva siempre está “por encima” del eje x (no lo corta).

Cuando a > 1 la curva es estrictamente creciente.
Cuando a < 1 la curva es estrictamente decreciente.

Ejemplo: Sea f: R → R₊^* tal que f(x) = (1/2)^x. Realizar la representación gráfica de la misma.

Haciendo la representación gráfica para el intervalo, – 3 ≤ x ≤ 3 se tiene:

Veamos que:

La curva pasa por el punto A(0,1).
La curva pasa por el punto B(1,1/2)
La Curva está “por encima” del eje x y no lo corta.
La función es estrictamente decreciente ya que a < 1, con a = 1/2.

Funciones logarítmica

Toda función f: R → R₊^* tal que log_af(x) = a^x con a ≠ 1 y a > 0, se le denomina función logarítmica. Esta función es la inversa de la función de la exponencial en base a, dado que:

log_af(y) = x ↔ a^x= y

La función logarítmica sólo existe para x > 0 (sin incluir el cero). Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+∞).
Cuando x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log_af(1) = 0, en cualquier base.
La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
La curva es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Ejemplo: Sea f: R → R₊^* tal que y = log(x) , realizar la representación gráfica de la misma.

Haciendo la representación gráfica para el intervalo -1/2 ≤ x ≤ 8, se tiene:

Veamos que: