Curva cuadrática

curva cuadráticaUna curva cuadrática es una curva que representa una ecuación cuadrática dada. La curva y= ax2 + bx + c,  con , se le denomina función cuadrática de una variable. En general, la curva f(x,y)  = Ax2 + Bxy + Cxy2 + Dx + Ey + F se le denomina función cuadrática; el signo del discriminante “B2 – 4AC” de dicha función determina la forma de la curva: parábola, elipse o círculo, o hipérbola.

Identificación del tipo de Curva

  1. Ampliar la ecuación cuadrática dada y simplificarla.
  2. Reorganizar la ecuación dada y reescribirla como la fórmula general “Ax2 + Bxy + Cxy2 + Dx + Ey + F = 0”.
  3. Comparar la ecuación obtenida en el paso 2 con la fórmula general para encontrar y .
  4. Encontrar el discriminante “B2 – 4AC”:
  • Si B2 – 4AC = 0, entonces la ecuación dada representa una Parábola.
  • Si B2 – 4AC < 0, entonces la ecuación dada representa una elipse o un círculo.
  • Si B2 – 4AC > 0, entonces la ecuación dada representa una hipérbola.

Ejemplo 1: Identificar el tipo de curva para la ecuación y2 – 4y – 2x + 3 = 0.

Reorganizando la ecuación en la fórmula general “Ax2 + Bxy + Cxy2 + Dx + Ey + F = 0”:

0x2 – 0xy + (1)(1)y2 – 2x – 4y + 3 = 0

Comparando ambas ecuaciones determinamos que:

A = 0; B = 0 ;  C = 1; D =  – 2 ; E = – 4 y F = 3.

Ahora, al evaluar el discriminante obtenemos que:

B2 – 4AC = (0)2 – 4(0)(1) = 0

Por lo tanto, la ecuación y2 – 4y – 2x + 3 = 0 representa una parábola.

Ejemplo 2: Identificar el tipo de curva para la ecuación 7x2 +5 + 2xy + 4y2 + 3y – 22 = 0.

Reorganizando la ecuación en la fórmula general “Ax2 + Bxy + Cxy2 + Dx + Ey + F = 0”:

7x2 + 2xy + (4)(1)y2 – 5x + 3y – 22 = 0.

Comparando ambas ecuaciones determinamos que:

A = 7;  B = 2;  C = 4;  D = – 5;  E = 3 y F = – 22.

Ahora, al evaluar el discriminante obtenemos que:

B2 – 4AC = (7)2 – 4(3)(4) > 0

Por lo tanto, la ecuación 7x2 +5 + 2xy + 4y2 + 3y – 22 = 0. representa ya sea una elipse o un círculo.

Ejemplo 3: Identificar el tipo de curva para la ecuación 8x2 + 3x + 4y2 + 12y = 0.

Reorganizando la ecuación en la fórmula general “Ax2 + Bxy + Cxy2 + Dx + Ey + F = 0”:

8x2 – 0xy + (4)(1)y2 + 3x + 12y + 0 = 0.

Comparando ambas ecuaciones determinamos que:

A= 8; B=0; C=4; D=3; E=12 y F=0.

Ahora, al evaluar el discriminante obtenemos que:

B2 – 4AC = (0)2 – 4(8)(4) < 0

Por lo tanto, la ecuación 8x2 + 3x + 4y2 + 12y = 0 representa una hipérbola.