Raíces de ecuaciones cuadráticas

raíces ecuaciones cuadráticasPara encontrar la solución de una ecuación cuadrática ax+ bx + c = 0 utilizamos la fórmula cuadrática, la cual tiene la siguiente forma:

x = [ -b ± √ (b– 4ac) ] / 2a

Sustituyendo los valores de los coeficientes a, b y c en ella, podemos obtener fácilmente los valores de x, recordando que “±” expresa que la ecuación tiene ¡DOS SOLUCIONES! La parte “b– 4ac” se le denomina discriminante y:

  • si es positivo, hay DOS soluciones.
  • si es cero sólo hay UNA solución.
  • si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.

Ejemplos:

1. x² – 2x – 3 = 0

Los coeficientes son: a = 1; b = – 2 y c = – 3. Comprobamos el valor del discriminante:

b– 4ac = (- 2)– 4(1)(- 3) = 4 + 12 = 16

Como 16 > 0, existirán dos raíces distintas:

 Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:

x= [ – b ± √( b– 4ac) ] / 2a     →         = {2 ± √16} / 2 = {2 ± 4} / 2

Por lo tanto la dos raíces son:

x= {2 + 4 } / 2     ;    x= {2 – 4} / 2

x= 3     ;    x2  = – 1

2. x– 12x + 36 = 0.

Los coeficientes son: a = 1; b = – 12 y c = 36. Comprobamos el valor del discriminante:

b– 4ac = (-12)2– 4(1)(36) =  144 – 144 = 0

Como el discriminante es igual a cero, existirán dos raíces del mismo valor:

 Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:

x = (12 ± √0) / 2 = 12 / 2 = 6

x= x= 6

3. x– 6x + 25 = 0.

Los coeficientes son: a = 1; b = – 6 y c = 25. Comprobamos el valor del discriminante:

b– 4ac = (-6)– 4(1)(25) =  36 – 100 = – 64

Como 64 < 0, existirán dos raíces imaginarias:

Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:

x = [ 6 ± √ – 64 ] / 2

Recordando que i = √ -1, tenemos:

x = [ 6 ± ( √ 64 · √ -1)  ] / 2 = ( 6 ± 8i) / 2

x1 = ( 6 + 8i) / 2 =  3 + 4i

x2 = ( 6 – 8i) / 2 = 3 – 4i