Fórmula cuadrática

fórmula cuadrática  Fórmula cuadrática formula cuadraticaCuando nos encontramos con una ecuación cuadrática o de segundo grado, observamos que tiene la siguiente forma:

ax² + bx + c = 0

donde “x” es la variable o incógnita, y las letras a, b  y c  son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que  a = 0. Para encontrar solución a este tipo de ecuación se utiliza la fórmula cuadrática que tiene la forma siguiente:

x = [ – b ± √ (b– 4ac) ] / 2a

Sustituyendo los valores de los coeficientes a, b y c en ella, podemos obtener fácilmente los valores de x, recordando que “±” expresa que la ecuación tiene ¡DOS SOLUCIONES! La parte “b– 4ac” se le denomina discriminante y:

  • si es positivo, hay DOS soluciones.
  • si es cero sólo hay UNA solución.
  • si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.

Demostración

Reescribamos la ecuación cuadrática  ax2 + bx + c = 0, de la siguiente manera:

x+ (b/a)x = – c/a

Si observamos el primer término (a la izquierda del signo =), vemos que el binomio “ax2+ (b/a)x” le falta un término para ser un trinomio cuadrado perfecto (a+ 2ab + b2). Dicho término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término, es decir, (b/2a)2 o lo que es lo mismo,  b2/(4a2):

x+ (b/a)x + b2/(4a2) = – c/a

En efecto, se ha formado un trinomio cuyo primer término es el cuadrado de x, su segundo  es el doble de producto de x por b/2a y su tercero es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término b/2a, es decir, b2/(4a2).

completando cuadrado  Fórmula cuadrática completando cuadrado

Ahora, para no alterar la ecuación le agregamos al segundo miembro la misma cantidad que se le hemos agregado al primero, así tendremos:

x+ (b/a)x + b2/(4a2) = – c/a + b2/(4a2)

En el primer miembro de la ecuación se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto:

(x + b/2a)= – c/a + b2/(4a2)

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros se tiene:

√(x + b/2a)2 = ± √[- c/a + b2/(4a2) ]

(x + b/2a) = ± √[- c/a + b2/(4a2) ]

En consecuencia las raíces de la formula cuadrática serán:

  •  x= -b/2a + √[- c/a + b2/(4a2) ]
  • x= -b/2a – √[- c/a + b2/(4a2) ]