Racionalización de denominadores

Cuando el denominador de una fracción es de la forma a/ⁿ√b o a/(ⁿ√b + ⁿ√c) debemos hacer las transformaciones necesarias para que los radicales del denominador desaparezcan, a este proceso se le denomina racionalización de denominadores.

Racionalizar el denominador consiste en convertir una fracción cuyo denominador sea irracional, por ejemplo √7, en una  equivalente cuyo denominador sea racional.

Racionalizar el denominador de una fracción cuando el éste es un monomio

Multiplicamos el numerador y denominador por un radical del mismo índice que el denominador, cuya parte subradical contenga las misma letras y coeficientes de dicho radical elevados a exponentes, tales que, sumados con los que ya tiene nos dé el índice o un múltiplo de él.

Ejemplo 1: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión: x / ⁶√x⁴.

1. Multiplicamos el numerador y denominador por ⁶√.
2. La parte subradical será x², ya que x⁴∙x² = x⁽⁴⁺²⁾ = x⁶ (que es el mismo número del índice del radical).

Por lo tanto:

x / ⁶√x⁴ =  ( x / ⁶√x⁴ ) ·  ( ⁶√x² / ⁶√x² ) = ( x ·⁶√x² ) / ⁶√x⁴ = ( x ·⁶√x²) / x = ⁶√x²

Observemos que el resultado es una cantidad racional.

Ejemplo 2: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión: ∛ ( 4x² / y∛x )

∛ ( 4x² / y∛x ) = ∛(4x²) / ∛ (y∛x) = ∛(4x²) / ∛[∛(xy³)] = ∛(4x²) / ⁹√(xy³)

Multiplicamos el numerador y denominador por ⁹√. La parte subradical será x⁸y⁶, ya que (x¹∙y³) ∙ (x⁸∙y⁶) = x⁽¹⁺⁸⁾∙y⁽³⁺⁶⁾ = x⁹∙y⁹ (que son los mismos números del índice del radical).

Por lo tanto:

∛(4x²) / ⁶√(xy³) = ∛(4x²) / ⁹√(xy³) ∙ [⁹√(x⁸y⁶) / ⁹√(x⁸y⁶) ] =

^{= 9}√[(4x²)³x⁸y⁶] / ⁹√(x⁹y⁹) =

= ⁹√(64x¹⁴y⁶) / (xy)  =

= x · ⁹√(64x⁵y⁶) / (xy)  =

^{= 9}√(64x⁵y⁶) / y

Racionalizar el denominador de una fracción cuando el éste es un binomio

Multiplicamos el numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador, es decir, si el denominador es una suma, multiplicamos por su diferencia, si es una resta, por su suma:

• a / (ⁿ√b + ⁿ√c) = [ a / (ⁿ√b + ⁿ√c) ] · [(ⁿ√b – ⁿ√c) / (ⁿ√b – ⁿ√c) ]
• a / (ⁿ√b – ⁿ√c) = [ a / (ⁿ√b – ⁿ√c) ] · [(ⁿ√b + ⁿ√c) / (ⁿ√b + ⁿ√c) ]

Ejemplo 1: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión: 9 / (√2 + √11)

Multiplicamos el numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador, es decir, √2 – √11

9 / (√2 + √11) = [9 / (√2 + √11) ] · [ (√2 – √11) / (√2 – √11)  ]

Recordando que (a + b)(a – b) = a² – b² se tiene:

9 / (√2 + √11) = [ 9 (√2 – √11) ] / [ (√2)² – (√11)² ] =

= [ 9 (√2 – √11) ] / ( 2 – 11 ) =

= [ 9 (√2 – √11) ] / – 9 =

=  √2 – √11

Ejemplo 2: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión √3 / (√5 – √2)

Multiplicamos el numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador, es decir, √5 + √2

√3  / (√5 – √2) = [√3 / (√5 – √2) ] · [ (√5 + √2) / (√5 + √2) ] =

    = [√3 (√5 + √2) ] / [ (√5)² – (√2)² ] =

    = (√3√5 + √3√2) / ( 5 – 2 ) =

    = (√15 + √6 ) / 3

 Ejemplo 3: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión: ⁴√[ 5⁴ / (3 – √2) ]

Multiplicamos el numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador, es decir, 3 + √2

⁴√[ 5⁴ / (3 – √2) ] = ⁴√ { [ 5⁴ / (3 – √2) ] · [ (3 + √2 ) / (3 + √2 ) ] } =

   ^{= 4}√ { [ 5⁴ (3 + √2) ] / [ (3)² – (√2 )²  ] } =

   ^{= 4}√ { [ 5⁴ (3 + √2) ] / [ 9 – 2 ] } =

   ^{= 4}√ { [ 5⁴ (3 + √2) ] / 5 } =

   ^{= 4}√ [ 5⁴ (3 + √2) ] / ⁴√5

Ahora, multiplicamos el numerador y denominador por ⁴√  La parte subradical será 5³, ya que 5¹5³ = 5¹⁺³ = 5⁴  (que es el mismo número del índice del radical).

⁴√ [ 5⁴ (3 + √2) ] / ⁴√5 = {⁴√ [ 5⁴ (3 + √2) ] / ⁴√5} · (⁴√5³ / ⁴√5³) =

                                   ^{= 4}√ [ 5⁷ (3 + √2) ] / ⁴√5⁴ =

     ^{= 4}√ 5³ ( 3 + √2 )

Por lo tanto,

⁴√[ 5⁴ / (3 – √2) ] = ⁴√ [ 125 ( 3 + √2 ) ]