Racionalización de denominadores

Racionalizar el denominadorCuando el denominador de una fracción es de la forma a/n√b o a/(n√b + n√c) debemos hacer las transformaciones necesarias para que los radicales del denominador desaparezcan, a este proceso se le denomina racionalización de denominadores.

Racionalizar el denominador consiste en convertir una fracción cuyo denominador sea irracional, por ejemplo √7, en una  equivalente cuyo denominador sea racional.

Racionalizar el denominador de una fracción cuando el éste es un monomio

Multiplicamos el numerador y denominador por un radical del mismo índice que el denominador, cuya parte subradical contenga las misma letras y coeficientes de dicho radical elevados a exponentes, tales que, sumados con los que ya tiene nos dé el índice o un múltiplo de él.

Ejemplo 1: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión: x / 6√x4.

  1. Multiplicamos el numerador y denominador por 6√.
  2. La parte subradical será x2, ya que x4∙x2 = x(4+2) = x6 (que es el mismo número del índice del radical).

Por lo tanto:

x / 6√x4 =  ( x / 6√x4 ) ·  ( 6√x2 / 6√x2 ) = ( x ·6√x2 ) / 6√x4 = ( x ·6√x2) / x = 6√x2

Observemos que el resultado es una cantidad racional.

Ejemplo 2: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión: ∛ ( 4x2 / y∛x )

∛ ( 4x2 / y∛x ) = ∛(4x2) / ∛ (y∛x) = ∛(4x2) / ∛[∛(xy3)] = ∛(4x2) / 9√(xy3)

Multiplicamos el numerador y denominador por 9√. La parte subradical será x8y6, ya que (x1∙y3) ∙ (x8∙y6) = x(1+8)∙y(3+6) = x9∙y9 (que son los mismos números del índice del radical).

Por lo tanto:

∛(4x2) / 6√(xy3) = ∛(4x2) / 9√(xy3) ∙ [9√(x8y6) / 9√(x8y6) ] =

= 9√[(4x2)3x8y6] / 9√(x9y9) =

= 9√(64x14y6) / (xy)  =

= x · 9√(64x5y6) / (xy)  =

= 9√(64x5y6) / y

Racionalizar el denominador de una fracción cuando el éste es un binomio

Multiplicamos el numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador, es decir, si el denominador es una suma, multiplicamos por su diferencia, si es una resta, por su suma:

  • a / (n√b + n√c) = [ a / (n√b + n√c) ] · [(n√b – n√c) / (n√b – n√c) ]
  • a / (n√b – n√c) = [ a / (n√b – n√c) ] · [(n√b + n√c) / (n√b + n√c) ]

Ejemplo 1: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión: 9 / (√2 + √11)

Multiplicamos el numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador, es decir, √2√11

9 / (√2 + √11) = [9 / (√2 + √11) ] · [ (√2 – √11) / (√2 – √11)  ]

Recordando que (a + b)(a – b) = a2 – b2 se tiene:

9 / (√2 + √11) = [ 9 (√2 – √11) ] / [ (√2)2 – (√11)2 ] =

= [ 9 (√2 – √11) ] / ( 2 – 11 ) =

= [ 9 (√2 – √11) ] / – 9 =

=  √2 – √11

Ejemplo 2: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión √3 / (√5 – √2)

Multiplicamos el numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador, es decir, √5 + √2

√3  / (√5 – √2) = [√3 / (√5 – √2) ] · [ (√5 + √2) / (√5 + √2) ] =

    = [√3 (√5 + √2) ] / [ (√5)2 – (√2)2 ] =

    = (√3√5 + √3√2) / ( 5 – 2 ) =

    = (√15 + √6 ) / 3

 Ejemplo 3: Racionalizar el denominador de la siguiente expresión: 4√[ 54 / (3 – √2) ]

Multiplicamos el numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador, es decir, 3 + √2

4√[ 54 / (3 – √2) ] = 4√ { [ 54 / (3 – √2) ] · [ (3 + √2 ) / (3 + √2 ) ] } =

   = 4√ { [ 54 (3 + √2) ] / [ (3)2 – (√2 )2  ] } =

   = 4√ { [ 54 (3 + √2) ] / [ 9 – 2 ] } =

   = 4√ { [ 54 (3 + √2) ] / 5 } =

   = 4√ [ 54 (3 + √2) ] / 4√5

Ahora, multiplicamos el numerador y denominador por 4√  La parte subradical será 53, ya que 5153 = 51+3 = 54  (que es el mismo número del índice del radical).

4√ [ 54 (3 + √2) ] / 4√5 = {4√ [ 54 (3 + √2) ] / 4√5} · (4√53 / 4√53) =

                                   = 4√ [ 57 (3 + √2) ] / 4√54 =

     = 4√ 53 ( 3 + √2 )

Por lo tanto,

4√[ 54 / (3 – √2) ] = 4√ [ 125 ( 3 + √2 ) ]