Expresiones radicales

La expresión algebraica a = ⁿ√b se lee como “raíz enésima de b”, donde el símbolo √ se le llama radical (usado para representar la raíz de un número), n es el índice de la raíz y b la parte subradical. El índice de la raíz indica el grado del radical, así, √x es un radical de segundo grado, ∛x es un radical de tercer grado.

En general, las expresiones radicales son expresiones algebraicas que incluyen un radical. Es decir, son combinaciones de letras (generalmente desconocidas), números, signos de operaciones (+, -, ×, ÷) y radicales.

Operaciones con expresiones radicales

Suma y resta

Para sumar y restar expresiones radicales debemos considerar los siguientes pasos:

1. Simplificar los radicales; debemos recordar que simplificar una expresión radical es reducirlo a su más simple expresión, es decir, cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado posible.
2. Se suman y/o restan los radicales semejantes, es decir aquellos radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidad subradical, los radicales no semejantes se escriben con su propio signo.

Ejemplo: Realizar las siguientes operaciones: √45 + √27 – √20  y ∛54 – ∛24 – ∛16

• √45 + √27 – √20 

Simplificando cada radical tenemos:

√45 = √(3²∙5) = 3√5

√27 = √(3³) = 3√3

√20 = √(2²∙5) = 2√5

Sumamos los radicales semejantes y no semejantes

√45 + √27 – √20 = 3√5 + 3√3 – 2√5 = (3√5 – 2√5) + 3√3 = √5 + 3√3

• ∛54 – ∛24 – ∛16

Simplificando cada radical tenemos:

∛54 = ∛(2∙3³) = 3∛(2∙3) = 3∛6

∛24 = ∛(2³∙3) = 2∛(2∙3) = 2∛6

∛16 = ∛(2⁴) = 2² = 4

Sumamos los radicales semejantes y no semejantes

∛54 – ∛24 – ∛16 = 3∛6 – 2∛6 – 4 = ∛6 – 4

Multiplicación

Para la multiplicación de expresiones radicales procedemos de la misma manera que para la multiplicación de dos polinomios:

1. Multiplicamos cada término por cada uno de los términos del otro polinomio.
2. Se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo: Realizar la siguiente operación: (7√5 + 11√7) × (5√5 – 8√7).

(7√5 + 11√7) × (5√5 – 8√7) = (7×5)[√(5×5)] +[7×(-8)][√(5×7)] + (11×5)[√(7×5)] + [11×(-8)][√(7×7)] =

= 35√(5²) – 56√35 + 55√35 – 88√(7²) = (35∙5)- 56√35 + 55√35 -(88∙7) = 175 – √35 – 616 = – (√35 – 441)

División

Para la división  de expresiones radicales nos basamos en la racionalización de denominadores de una fracción:

Cuando el denominador de una fracción está formado por un monomio o binomio de radicales, se hacen las trasformaciones necesarias para que dichos radicales desaparezcan. A este proceso se le denomina racionalización de denominadores.

Cuando el denominador es un binomio, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Multiplicamos ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador.
2. Se simplifican los resultados.

Ejemplo 1: Realizar la siguiente operación: (3√2) ÷ (7√2 – 6√3)

(3√2) ÷ (7√2 – 6√3) = (3√2) / (7√2 – 6√3)

Multiplicamos ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador:

(3√2) / (7√2 – 6√3) = [3√2∙(7√2 + 6√3)] / [(7√2 – 6√(3)∙(7√2 + 6√3)]

Simplificamos los resultados:

(3√2) / (7√2 – 6√3) = (21√4 + 18√5) / [(7√2)² – (6√3)²] = (21√4 + 18√5) / [(7)²∙2 – (6)²∙3 ] =

= (21√4 + 18√5) / (-10)

Ejemplo 2: Realizar la siguiente operación: (√2 – 3√5) ÷ (2√2 + √5)

(√2 – 3√5) ÷ (2√2 + √5) = (√2 – 3√5) / (2√2 + √5)

Multiplicamos ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador:

(√2 – 3√5) / (2√2 + √5) = [(√2 – 3√5)∙(2√2 – √5)] /[(2√2 + √5)∙(2√2 – √5)]

Simplificamos los resultados:

(√2 – 3√5) / (2√2 + √5) = (2√4 – √10 – 6√10 + 3√25)/ [(2√2)² – (√5)²] = (4 – 7√10 + 15) / [(2)²∙2 -5] =

= (19 – 7√10)/ 3