Componentes de un vector

Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación). Los vectores pueden ser representados en una, dos o tres dimensiones.

Las componentes de un vector son las proyecciones de dicho vector sobre el eje coordenado; en la Figura I vemos que v_x y v_y son las proyecciones del vector V sobre los ejes, por lo tanto, éstos son las componentes de V.

Definición de componentes de un vector

Consideremos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (Figura II). La componente “x” (a la que denominaremos A_x) del vector A  es la sombra que este último hace sobre el eje x; por otra parte, la componente “y”  (a la que denominaremos A_y) del vector A es la sombra que este último hace sobre el eje y  La suma vectorial de ambas componentes debe dar como resultado el vector A:

A_x + A_y = A

Notación

Las componentes de un vector pueden escribirse entre paréntesis y separada con comas:

A = (A_x, A_y)

En el caso de tres dimensiones, se expresa de esta forma:

A = (A_x, A_y, A_z)

También podemos expresarlos como una combinación de vectores unitarios (i, j, k):

A = A_x î + A_y ĵ y A = A_x î + A_y ĵ + A_z k

Otras veces se puede representar en forma matricial como:

A = [ A_x, A_y, A_z ]

Componentes rectangulares de un vector

De la Figura II encontramos que:

• A_x = A cosθ
• A_y = A sinθ

Estas componentes son los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene una magnitud A.

El módulo de A y su dirección están relacionadas con sus componentes como:

|A| = √ [ (A_x)² + (A_y)² ]

Y

tanθ = A_x / A_y

Ejercicios

1. Encuentre la magnitud del vector A = 5î + 3ĵ – 2k

Vemos que 5 es la componente  “x”, 3 la componente “y” y -2 la componente  “z”. Ahora, de la fórmula que relaciona las componentes con la magnitud del vector, tenemos:

|A|= √ [ (A_x)² +(A_y)² + (A_z)² ]= √[ (5)² +(3)² + (-2)²  = √ (25 + 9 +4 ) = 6,16

2. Encuentre la dirección del vector A = 4î + 5ĵ

Vemos que 4 es la componente “x” y 5 es “y”. Ahora, de la fórmula que relaciona las componentes con la dirección del vector, tenemos:

tanθ = A_x / A_y = 4/5

θ= arctan(4/5) = 0,67 rad

3. Encuentre la magnitud y dirección del vector A = 9î + 15ĵ

Vemos que 9 es la componente  “x” y -15 es “y”. De la fórmula que relaciona las componentes con la magnitud del vector, tenemos:

|A|= √ [ (A_x)² +(A_y)²  ]= √[ (9)² +(-15)² = √ (81 + 225 ) = 17,49

Ahora, de la fórmula que relaciona las componentes con la dirección del vector, tenemos:

tanθ = A_x / A_y = 9/-15

θ= arctan(- 9/15) = – 0,54 rad