Ángulo entre dos vectores

Figura I
Figura I

Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación). Los vectores pueden ser representados en dos dimensiones, por ejemplo A = (Ax, Ay), y en tres dimensiones, A = (Ax, Ay, Az). Dos vectores A y B  pueden están inclinados en un ángulo θ respecto uno del otro (Figura I); la forma más sencilla de determinar dicho ángulo, es calcular el arco coseno del producto escalar de ambos vectores dividido entre el producto de sus módulos:

\large \theta =\arccos \left (\frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{\left | \vec{A} \right |\left | \vec{B} \right |} \right )

Fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores

El ángulo entre dos vectores A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz) se determina a partir de la siguiente fórmula:

Ángulo entre dos vectores - fórmula

Donde:

Producto escalar de dos vectores

Sean A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz); el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define analíticamente como:

Producto escalar entre dos vectores - fórmula

El producto escalar siempre es un número real.

Módulo de un vector

La magnitud o módulo de un vector A = (Ax, Ay, Az)  es la longitud proporcional al valor del vector, se calcula a partir de la siguiente fórmula:

Módulo de un vector

Pasos para calcular el ángulo entre dos vectores

Supongamos que se desea calcular el ángulo entre los vectores:

\large \begin{align*} \vec{A} &= (A_{x},A_{y},A_{z}) \\ \vec{B} &= (B_{x},B_{y},B_{z}) \end{align*}

  1. Calcular el producto escalar de ambos vectores:

Producto escalar entre dos vectores - fórmula

  1. Calcular (por separado) los módulos de ambos vectores:

Módulo de un vector

\large \left |\vec{B}\right |=\sqrt{\left ( B_{x} \right )^{2}+\left ( B_{y} \right )^{2}+\left ( B_{z} \right )^{2}}

  1. Sustituir los valores del paso 1 y paso 2 en la fórmula:

\large \theta =\arccos \left (\frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{\left | \vec{A} \right |\left | \vec{B} \right |} \right )

Ejercicios

  1. Calcular el ángulo entre los vectores:

\large \begin{align*} \vec{A} &= (2,4) \\ \vec{B} &= (-2, 3) \end{align*}

Calculamos el producto escalar de ambos vectores:

\large \vec{A}\cdot \vec{B}=(2)(-2)+(4)(3)=-4+7=3

Calculamos los módulos de ambos vectores:

\large \begin{align*} \left |\vec{A}\right |&=\sqrt{( 2 )^{2}+(4)^{2}}= \sqrt{4+16}=\sqrt{20} \\ \left |\vec{B}\right |&=\sqrt{( -2 )^{2}+(3)^{2}= \sqrt{4+9}=\sqrt{13} } \end{align*}

Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:

\large \begin{align*} \theta &=\arccos (\frac{6}{\sqrt{20}\sqrt{13}}) \\ &=\arccos (\frac{6}{\sqrt{260}}) \\ &= 1,18\hspace{0.3em}rad \end{align*}

Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:

\large \theta =67,6^{\circ}

  1. Calcular el ángulo entre los vectores:

\large \begin{align*} \vec{A} &= (-1,3,4) \\ \vec{B} &= (5,-2,7) \end{align*}

Calculamos el producto escalar de ambos vectores:

\large \vec{A}\cdot \vec{B}=(-1)(5)+(3)(-2)+(4)(7)=-5-6+28=17

Calculamos los módulos de ambos vectores:

\large \begin{align*} \left |\vec{A}\right |&=\sqrt{( -1 )^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}= \sqrt{1+9+16}=\sqrt{26} \\ \left |\vec{B}\right |&=\sqrt{( 5 )^{2}+(-2)^{2}+(7)^{2}= \sqrt{25+4+49}=\sqrt{78} } \end{align*}

Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:

\large \begin{align*} \theta &=\arccos (\frac{17}{\sqrt{26}\sqrt{78}}) \\ &=\arccos (\frac{17}{\sqrt{2028}}) \\ &= 1,562\hspace{0.3em}rad \end{align*}

Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:

\large \theta =89,5^{\circ}