Ángulo entre dos vectores

Figura I
Figura I

Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación). Los vectores pueden ser representados en dos dimensiones, por ejemplo A = (Ax, Ay), y en tres dimensiones, A = (Ax, Ay, Az). Dos vectores A y B  pueden están inclinados en un ángulo θ respecto uno del otro (Figura I); la forma más sencilla de determinar dicho ángulo, es calcular el arco coseno del producto escalar de ambos vectores dividido entre el producto de sus módulos:

θ = arc cos [( A·B ) / ( |A| |B| )]

Fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores




El ángulo entre dos vectores A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz) se determina a partir de la siguiente fórmula:

θ = arc cos [( A·B ) / ( |A| |B| )]

Donde:

  • AB es el producto escalar de A y B.
  • |A| y |B| son los módulos de cada vector.

Producto escalar de dos vectores

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Sean A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz); el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define analíticamente como:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz

El producto escalar siempre es un número real.

Módulo de un vector

La magnitud o módulo de un vector A = (Ax, Ay, Az)  es la longitud proporcional al valor del vector, se calcula a partir de la siguiente fórmula:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 +(Az)2 ]

Pasos para calcular el ángulo entre dos vectores

Supongamos que se desea calcular el ángulo entre los vectores A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz):

  1. Calcular el producto escalar de ambos vectores:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz

  1. Calcular (por separado) los módulos de ambos vectores:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 +(Az)2 ] y |B| = √ [ (Bx)2 + (By)2 +(Bz)2 ]

  1. Sustituir los valores del paso 1 y paso 2 en la fórmula:

θ = arc cos [( A·B ) / ( |A| |B| )]

Ejercicios

  1. Calcular el ángulo entre los vectores A = (2, 4) y B = (-2 , 3).

Calculamos el producto escalar de ambos vectores:

A · B = AxBx + AyBy = (2)(-2) + (4)(3) = – 4 + 7 = 3

Calculamos los módulos de ambos vectores:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 ] = √ [ (2)2 + (4)2 ] = √ [ 4 + 16 ] = √20

|B| = √ [ (Bx)2 + (By)2 ] = √ [ (- 2)2 + (3)2 ] = √ [ 4 + 9 ] = √13

Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:

θ = arc cos [( A·B ) / ( |A| |B| )] = arc cos [ 6 / ( √20√13 )] =

= arc cos ( 6 / √260 ) =

= 1,18 rad

Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:

θ = 67,6 °

  1. Calcular el ángulo entre los vectores A = (-1, 3, 4) y B = (5, -2, 7).

Calculamos el producto escalar de ambos vectores:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz = (-1)(5) + (3)(-2) + (4)(7) = – 5 – 6 + 28 = 17

Calculamos los módulos de ambos vectores:

|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 ]  = √ [ (-1)2 + (3)2 + (4)2 ] = √ [ 1 + 9 + 16 ] = √26

|B| = √ [ (Bx)2 + (By)2 + (Az)2 ] = √ [ (5)2 + (-2)2 + (7)2 ] = √ [ 25 + 4 + 49 ] = √78

Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:

θ = arc cos [( A·B ) / ( |A| |B| )] = arc cos [ 17 / ( √26√78 )] =

= arc cos ( 17 / √2028 ) =

= 1,562 rad

Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:

θ = 89,5 °