Asíntota

Una asíntota es una línea recta que se aproxima continuamente a la curva de una función, pero nunca la toca conforme la curva avanza hacia el infinito en una dirección, es decir, la distancia entre ambas tiende a ser cero, a medida que se extienden indefinidamente.

Figura I.
Figura I.

La Figura I muestra la representación gráfica de la función f(x)=1/x; los ejes “x” y “y” son las asíntotas de la función. Conforme x se acerca al infinito, la curva se acerca más y más al eje x, pero nunca lo toca. De manera similar, conforme el eje y se aproxima al infinito, la curva también se acerca más y más al eje, pero nunca llega a tocarlo.

Procedimiento para encontrar asíntotas:

Procedimiento 1:

  1. Sustituir mx + c = y en la ecuación de la curva e igualar los coeficientes de las dos potencias más altas de x a cero.
  2. Determinar los valores de m y c a partir de las ecuaciones. Si m1, c1, m2, c2, y1= m1 x + c1 ; y2 = m2 x + c2; … yn = mn x + cn

Ejemplo: Encontrar las asíntotas de las curva x3 + 2x2 – (xy)2  – (2y)3 + xy – y2 + 1 = 0

Sustituyendo mx + c = y en la ecuación obtenemos

x3 + 2x2 – [x(mx + c)]2 –[2(mx + c)]3 + x(mx + c) – [(mx + c)]2 + 1 = 0

Igualando a cero los coeficientes x3 (de mayor grado), tenemos:

1 + 2m – m2 – 2m3 = 0   →    (1 + 2m)(1 – m2) = 0

Por lo tanto:

m = 1; -1 ; -1/2

Igualando a cero los coeficientes x2, tenemos:

2c[1 – m – (3m)2] + m – m2 = 0

Por lo tanto:

m = 1 y  c = 0; cuando m = -1 → c = -1; y cuando m = -1/2  → c = 1/2

Las asíntotas serán:

y = x ;  y = -(x+1); y = ½ – (x/2)

Procedimiento 2 (Método corto):

Si sustituimos x = 1 y y = m en los términos de mayor grado de la ecuación obtenemos ϕn(m); ϕn-1(m) se obtiene sustituyendo x = 1 e y = m en el (n-1) termino. Igualando ϕn(m) = 0, obtenemos las raíces como m1, m2,… mn. Los valores correspondientes a c1, c2,… cn se obtiene sustituyendo utilizando la fórmula:

cn=[ϕn-1(m)] / [ϕn(m)]

Por lo tanto las asíntotas serán y1 = m1x + c1;  y2 = m2x + c2… yn = mnx + cn

Ejemplo: Encontrar las asíntotas de las curva x3 + 2x2 – (xy)2 – (2y)3 + xy – y2 + 1 = 0

Sustituyendo x = 1 e y = m  en la ecuación obtenemos:

ϕ3(m) = 1 + 2m – m2 – 2m3      ;         ϕ2(m) = m – m2