Números perfectos

numerosperfectosSon aquellos números naturales que tienen la propiedad de ser iguales a la suma de sus divisores propios. Así, por ejemplo, el número 6 (1 + 2+3=6) es un número perfecto. Los números perfectos pares están dados por la siguiente expresión, conocida como Teorema de Euclides-Euler:

n = 2n-1(2n – 1)

En la que el término 2n – 1 debe ser un número primo. Al hacer n = 2,3,5,7,13,17 en la formula anterior, obtenemos los seis primeros números perfectos pares: 6; 28; 496; 8128 ; 33550336 ; 8589869056. Hasta la fecha se conocen 49 números perfectos pares, no se ha conseguido ninguno impar, aunque eso no significa que no existan.

Definición

Un número perfecto es aquél número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos. Por ejemplo, el 6 es un número perfecto, ya que al considerar sus divisores propios (1,2,3), obtenemos:

1 + 2 + 3 = 6

Números amigos

Sean A y B dos números enteros positivos; ambos serán números amigos si la suma de los divisores propios de uno es igual al otro y viceversa. Por ejemplo, 220 y 284:

  • Los divisores propios de 220 son: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 y 110, que juntos suman 284.
  • Los divisores propios de 284 son: 1,2,4,71,142 y 110, que juntos suman 220.

Ahora, si lo relacionamos con los números amigos, un número perfecto es amigo de sí mismo, ya que es igual a la suma de sus divisores propios.

¿Cómo se calculan los números perfectos?

Para encontrar los números perfecto se hace uso del teorema de Euclides – Euler:

Si n es un número perfecto y par, entonces

n = 2n-1(2n – 1)

Donde el término 2n – 1 siempre es un número primo. De acuerdo a lo anterior, el número perfecto más pequeño es el 6:

1 + 2 + 3=6

El siguiente es el 28:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Después de éste, no aparece ningún otro hasta el 496, el cuarto número perfecto es el 8128, el quinto perfecto es 33550336. Hasta enero del año 2016 se conocen 49 números perfectos, el último corresponde a n = 74207281 con el que obtiene un número con ¡44677235 dígitos!

¿Existe algún número impar?

Hasta los momentos todos los números perfectos encontrados son pares, pero eso no significa que no existan.