Números complejos

En algunas ocasiones nos encontramos con ecuaciones lineales que no tienen solución en el conjunto de los números reales, como por ejemplo:

x² + 4 = 0

x² = – 4

x = √(-4)

Si a la expresión “√(-1)” la definimos como “i”, de tal modo que i = √(-1), tenemos:

x = √(-4) = √4√(-1) = 2i

A este tipo de número se le denomina números imaginarios. Por lo tanto, con este tipo de número, podemos obtener las soluciones de ecuaciones que antes “no la tenían”.

Ejemplo: Resolver la ecuación x² + 2x + 5 = 0

x = [- b ± √(b² – 4ac)] / 2a

x = [- 2 ± √(2² – 4·1·5)] / 2(1) =

x = [- 2 ± √(4 – 20)] / 2 =

x = [- 2 ±
√(- 16)] / 2 =

x = [- 2 ± 4i] / 2

De aquí obtenemos:

• x₁ = (- 2 + 4i) / 2 = -1 + 2i
• x₂ = (- 2 – 4i) / 2 = -1 – 2i

Observemos que ambas soluciones están formadas por dos números: uno real y otro imaginario. A este par se le llama números complejos.

Definición

Un número complejo es un par ordenado de números (reales, imaginarios). Éstos se pueden representar con la letra z, de la siguiente forma:

z = (a, b)

Donde la primera componente se le llama parte real y se escribe  Re; la segunda se denomina parte imaginaria y se escribe Im.

• a es la parte real Re(z).
• b es la parte imaginaria Im(z).

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

• Si b = 0, el número complejo se reduce a uno real ya que a + 0i = a.
• Si a = 0, el número complejo se reduce a bi y se dice que es un número imaginario puro.

Números complejos conjugados

Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Ejemplo: z₁ = (4, -5) es el conjugado de z₂ = (4, 5).

 Números complejos opuestos

Los números complejos a + bi y – (a + bi) se llaman opuestos.

Ejemplo: z₃ = 5 + 7i es el opuesto a z₄ = – 5 – 7i.

 Igualdad de números complejos

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

El conjunto de todos números complejos se designa por C:

C = {a + bi / a,b ∈ R}

Representación gráfica

Sea el número complejo (a, b):

1. Dibujamos unos ejes de coordenadas rectangulares y en él situamos la componente de cada número complejo:

• La primera componente (que es la parte real) la situamos en el eje horizontal (llamado eje real).
• La segunda componente (que es la parte imaginaria) la situamos sobre el eje vertical (denominado eje imaginario).

2. El punto de intersección de las paralelas a los ejes por dichas componentes es la imagen del número complejo.

Ejemplo: Representar el siguiente número complejo: z = – 4, 2.