Ley del Seno – Demostración y Ejemplos

La ley del seno o teorema del seno es una relación aplicable a cualquier triangulo (a diferencia del teorema de Pitágoras que necesita que sea un triángulo rectángulo), que relaciona las longitudes de sus lados con los senos de sus respectivos ángulos opuestos.

¿Qué es la ley del seno?




Ley del seno

Al observar la figura superior podemos ver que sus vértices son A, B, C; sus lados a, b, c y sus ángulos α, β, γ. La ley del seno expresa que los cocientes de la relación de cada lado entre su ángulo opuesto tienen que ser iguales, es decir:

\LARGE \mathbf{\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }}

Esta relación solo puede ser aplicada en pareja, no se aplica en grupo de tres igualdades:

  • \large \mathbf{\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }}
  • \large \mathbf{\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }}
  • \large \mathbf{\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }}

Para cualquier triángulo, usando estas relaciones y dependiendo de los datos que tengamos, podemos encontrar los valores de ángulos o lados de dicho triángulo.

Ley del seno o Teorema del seno

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Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos AB y C son respectivamente abc, entonces:

\LARGE \mathbf{\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }}

Ejemplo de la ley del seno

Si en un triángulo ABC, ∠A = 90°, ∠B = 30°; Si el lado opuesto a ∠A es 60 cm, encuentre el valor del lado opuesto a ∠B y ∠C.

De la ley de las tangentes tenemos:

\mathbf{\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }}

Cálculo de b

Tomamos las dos primeras razones porque conocemos A, B y a:

\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta}

\frac{60cm}{\sin 90^{\circ}}=\frac{b}{\sin 30 }

\frac{60cm}{1}=\frac{b}{\frac{1}{2} }

60 cm = 2b

 Despejando b:

b=\left (\frac{60}{2} \right )cm

\mathbf{b=30cm}

Cálculo de c

Para calcular este lado necesitamos conocer el ángulo C; recordado que la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera debe ser igual a 180°, tenemos:

A+B+C=180^{\circ}

\begin{center}C=180^{\circ}-A-B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}\\ \medskip C=60^{\circ}\end{center}Ahora, en la ley de los senos tomamos dos razones en donde una de ellas contenga a (c / sin C), por lo tanto:

 

\mathbf{\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }}\frac{60cm}{\sin 90^{\circ}}=\frac{c}{\sin 60^{\circ} }

\frac{60cm}{1}=\frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2} }

60cm=\frac{\sqrt{3}}{2}c

 Despejando c:

c=\frac{\left ( 60\cdot 2 \right )}{\sqrt{3}}cm

c=69,28cm

Demostración del teorema del seno

Consideremos un triángulo cuyas longitudes de sus lados son a, b y c y sus ángulos opuestos α, β, γ.

teorema del seno - demostración

Para poder demostrar el teorema, debemos dividir este triángulo en dos triángulos rectángulos.

teorema del seno - demostración2

Veamos que la línea que los divide es “h” y “AC” es la base del triángulo ABC.

Para el triángulo de la izquierda, tenemos:

\begin{align*}&\sin \alpha =\frac{h}{b}\\\medskip &h={b}\cdot {\sin \alpha}\hspace{2em}(1)\end{align*}

Repitiendo el procedimiento en el de la derecha:

\begin{align*}&\sin \beta =\frac{h}{a}\\\medskip &h={a}\cdot {\sin \beta}\hspace{2em}(2)\end{align*}

Igualando la ecuación (1)  y con (2), tenemos:

b\sin \alpha =a\sin\beta

o

\frac{a}{\sin \alpha} =\frac{b}{\sin\beta}\hspace{2em}(3)

Análogamente, podemos encontrar que

\frac{a}{\sin \alpha} =\frac{c}{\sin\gamma }\hspace{2em}(4)

De (3) y (4)

\LARGE \mathbf{\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }}

Que es lo que queríamos demostrar.

Ejercicios de ley del seno

  • En la figura adjunta se conocen: α = 30°; β=53° y a=75cm. Hallar b y c.

Ley de seno - ejercicio

El triángulo es oblicuángulo y conocemos un ángulo y su lado opuesto, por lo tanto, aplicamos la ley del seno utilizando las proporciones que se ajusten mejor a los datos dados:

Cálculo de b

\begin{align*}&\mathbf{\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta }} \\\medskip &b=\frac{a\sin \beta } {\ sin \alpha }\end{align*}

Para α = 30°; β=53° y a=75cm, tenemos:

\begin{align*}&b=\frac{75\sin 53 ^{\circ} } { \sin 30 ^{\circ} }cm\\\medskip &b=\frac{59,89766} { \frac{1}{2}}cm\\\medskip &b=119,79 cm \end{align*}

Cálculo de c

Para calcular c necesitamos conocer el ángulo γ, que calculamos aplicando la propiedad de que en cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos vale 180°, por lo tanto:

\begin{align*}&\alpha+\beta +\gamma =180^{\circ} \\\medskip &\gamma =180^{\circ} -\alpha -\beta \end{align*}

Para α = 30°y β=53°, tenemos:

\gamma =180^{\circ} -30^{\circ} -53^{\circ}=97^{\circ}

Ahora:

\begin{align*}&\mathbf{\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma}} \\\medskip &c=\frac{a\sin \gamma } { sin \alpha }\end{align*}

Para a=75cm; α = 30° y γ=97°:

\begin{align*}&c=\frac{75\sin 97^{\circ} } { sin 30^{\circ} }cm=\\\medskip &c=\frac{75\sin 97^{\circ} } { sin 30^{\circ} }cm=\\\medskip &c=148,88cm \end{align*}

  • Calcular la distancia dc de la siguiente figura utilizando la ley del seno:

Teorema del seno - ejercicio

Dibujamos las dos figuras por separado:

ley del seno - ejercicio 2

De aquí observamos que:

  • Ambos triángulos comparten el lado bd, que es la hipotenusa del primer triángulo.
  • Si calculamos este lado, en el segundo triángulo podremos conocer un ángulo (30°) y su lado opuesto (bd).
  • Además, podremos calcular el ángulo γ, ya que este es adyacente al de 60°, lo que quiere decir que son complementarios y suman 180°.
  • Sabiendo el valor de este ángulo, podremos calcular α aplicando la propiedad de que en cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos vale 180°. Este ángulo es el opuesto al lado dc, que es el que queremos calcular.
  • De esta manera, en el segundo triángulo podemos aplicar la ley del seno utilizando las proporciones que se ajusten mejor a los datos para calcular la distancia dc.

Calculo del lado bd

De la figura anterior, vemos que el lado bc es la hipotenusa del primer triángulo, por lo tanto, usamos la relación trigonométrica seno para calcularla:

\begin{align*}&\sin 60^{\circ}=\frac{ab}{bd} \\\medskip &bd=\frac{ab}{\sin 60^\circ} = \frac{300cm}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\\\medskip &bd=\frac{2\cdot 300cm}{\sqrt{3}}=\frac{600cm}{\sqrt{3}}\end{align*}

Ahora racionalizamos el resultado:

\begin{align*}&bd=\frac{600m}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{600\cdot \sqrt{3}}{3}=\\\medskip &bd=200\sqrt{3}cm\end{align*}

Cálculo del ángulo γ (gamma)

De la figura observamos que γ y el ángulo de 60° son adyacentes. Como dos ángulos adyacentes son complementarios, ambos suman 180°. Por lo tanto:

\begin{align*}&\gamma +60^{\circ} =180^{\circ} \\\medskip &\gamma =180^{\circ}-60^{\circ} \\\medskip &\gamma =120^{\circ} \end{align*}

Cálculo del ángulo α (alfa)

Del segundo triángulo conocemos sus ángulos β y γ; sabiendo que en cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos vale 180° tenemos:

\begin{align*}&\alpha+\beta +\gamma =180^{\circ}\\\medskip &\alpha =180^{\circ} -\beta-\gamma \end{align*}

Para β = 30°y γ=120°, tenemos:

\begin{align*}&\alpha =180^{\circ} -30^{\circ}-120^{\circ}\\\medskip &\alpha =30^{\circ}\end{align*}

Cálculo del lado dc

Con los datos que hemos calculado hasta estos momentos, nuestro segundo triángulo sería:

Aplicamos ahora el teorema del seno, tomando en cuenta que a=bd y b=dc:

\begin{align*}&{\frac{bd}{\sin \alpha}=\frac{dc}{\sin \beta }} \\\medskip &dc=\frac{bd\cdot \sin \beta } {\ sin \alpha }\end{align*}

Para α = 30°; β=30° y bd=200√3 cm, tenemos:

\begin{align*}&dc=\frac{200\sqrt{3}\cdot \sin30 ^\circ}{\sin30 ^\circ} \\\medskip &dc=200\sqrt{3}\end{align*}

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