Límites (introducción)

Uno de los análisis bases para una función es estudiar su continuidad y los valores en el que posiblemente ésta no exista. Por lo tanto, estudiar a la función en entornos reducidos de estos valores y observando el comportamiento de ella misma, es lo que llamamos límites de una función.

La simbología que usaremos para estudiar los límites de una función acercándose a algún valor en específico es la siguiente:

límites1

Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee “cuando x tiende al valor a en la función”, es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a.

Ejemplo: Límite de la función f(x) = x + 1.

Primero analizaremos el dominio de esta función. Rápidamente podemos observar que esta función no tiene ninguna restricción, para cualquier valor real de la variable x existirá un valor f(x), por lo tanto, su domino son todos los números reales:

Dom: R

Ahora analicemos el límite cuando x → 1:

límites2

En este caso, como no tenemos una restricción en el dominio, sustituimos el valor al cual tiende la variable x en la función:

límites3

Tiene sentido que a medida x → 1 su imagen en el eje y sea 2.

límites4

Propiedades

Estas son algunas propiedades de los límites o como también son conocidas: álgebra de límites:

  • límites5

El límite de la suma de funciones será igual a la suma del límite de cada función. Ejemplo:

límites6

Esta propiedad se cumple para las cuatro operaciones básicas:

límites7

  • límites8

El límite de una función elevada a otra función será igual al límite de la función base elevado al límite de la función exponente. Ejemplo:

límites9

Ejercicio

Aplicando las propiedades resolvamos el siguiente límite:

límites10